Dualbasis

13.12.2016, 16:27

balance

Dualbasis

Hallo,

Sei $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ein Vektorraum mit der Stadandardbasis $\begin{eqnarray*} B=b_1,b_2,b_3) \end{eqnarray*}$ .
Sei $\begin{eqnarray*} V^{*} \end{eqnarray*}$ der zu $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ duale Raum.
Sei $\begin{eqnarray*} B^{*}=(b_1', b_2', b_3') \end{eqnarray*}$ die zu $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ duale Basis.

Es gilt: $\begin{eqnarray*} b_i'(b_j)=\delta_{i,j} \end{eqnarray*}$ (1)

Ich möchte den ersten dualen Basisvektor berechnen.

Wir wechseln zum Koordinatenraum und sagen:

Sei $\begin{eqnarray*} b_1'=\begin{pmatrix}a\\ b\\ c\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Bekannt ist, dass $\begin{eqnarray*} b_i' : V\to \mathbb K \end{eqnarray*}$ .

Man kann also nun folgnedes Gleichungssystem aufstellen:

$\begin{eqnarray*} b_1'(b_1)=1a+0b+0c\overset{!}{=}1 \quad \Rightarrow \quad a=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b_1'(b_2)=0a+1b+0c\overset{!}{=}0 \quad \Rightarrow \quad b=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b_1'(b_3)=0a+0b+1c\overset{!}{=}0 \quad \Rightarrow \quad c=0 \end{eqnarray*}$

somit $\begin{eqnarray*} b_1'=\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Soweit korrekt, oder?

Was ich mich jetzt frage, ist, wieso ich genau folgenden Ansatz mache:

$\begin{eqnarray*} b_i'(b_j)=b_{i_1}'b_{j,1}+b_{i_2}'b_{j,2}+b_{i_3}'b_{j,3}=\delta_{i,j} \end{eqnarray*}$

Ich denke ich "weis" wieso die Definition (1) gilt. [Ich denke mir da halt, es macht Sinn, die Basisvektoren jeweils ganz oder garnicht und nicht sonst wie abzubilden]. Klar ist auch, dass wir eine Abbildung in den Körper haben, vom Vektorraus aus - also irgendwie eine Zahl bekommen sollten. Das ist ja oftmals das Skalarprodukt, also bietet es sich an. Aber wieso gerade das? Könnte ich auch einen völlig anderen Ansatz machen?

Oder evtl. anders gefragt: Wieso taucht hier das Skalarprodukt auf?

13.12.2016, 22:12

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RE: Dualbasis

Zitat:

Ich denke ich "weis" wieso die Definition (1) gilt.

Eine Definition ist eine Definition. Sie gilt nicht. Sie kann sinnvoll sein oder unsinnig. Ein Satz gilt.

Zitat:

Wieso taucht hier das Skalarprodukt auf?

Weil du in die Koordinatendarstellung gewechselt hast. Da ist nichts anderes passiert, als wenn du bei einer linearen Abbildung den Wert f(u) schreibst als Ax, wobei A die Darstellungsmatrix von f und x der Koordinatenvektor von u (bezgl. einer Basis) sind. Hier ist eben A eine 1x3-Matrix

14.12.2016, 10:57

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RE: Dualbasis

Zitat:

Original von URL

Zitat:

Ich denke ich "weis" wieso die Definition (1) gilt.

Eine Definition ist eine Definition. Sie gilt nicht. Sie kann sinnvoll sein oder unsinnig. Ein Satz gilt.

Zitat:

Wieso taucht hier das Skalarprodukt auf?

Okay, super. Danke smile