Normalteiler in Gruppenhomomorphismus

13.12.2016, 17:47	InfoErsti	Auf diesen Beitrag antworten »
Normalteiler in Gruppenhomomorphismus Meine Frage: Sei $\begin{eqnarray} \varphi:G\rightarrow H \end{eqnarray}$ ein Gruppenhomomorphismus und $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ ein Normalteiler von $\begin{eqnarray} H \end{eqnarray}$ . Man zeige, dass dann $\begin{eqnarray} U=\varphi^{-1}\left(N\right) \end{eqnarray}$ ein Normalteiler von $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ ist. Meine Ideen: Zu zeigen ist also, dass $\begin{eqnarray} \forall g\in G:g\circ U=U\circ g \end{eqnarray}$ . Damit gleichbedeutend ist, dass $\begin{eqnarray} g\circ\varphi^{-1}\left(N\right)=\varphi^{-1}\left(N\right)\circ g \end{eqnarray}$ . Wenn $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ ein Normalteiler von $\begin{eqnarray} H \end{eqnarray}$ ist, so ist auch $\begin{eqnarray} \forall h\in H:h\circ N=N\circ h \end{eqnarray}$ . Ich weiß weder ob das mit phi in der zweiten Zeile funktioniert, noch ob mir das ganze überhaupt näher an die Lösung bringen könnte. $\begin{eqnarray} <br /> h\ast N &=&N\ast h<br /> h\ast\varphi\varphi^{-1}\left(N\right) &=&\varphi\varphi^{-1}\left(N\right)\ast h<br /> \varphi\left(g\right)\ast\varphi\left(\varphi^{-1}\left(N\right)\right) &=&\varphi\left(\varphi^{-1}\left(N\right)\right)\ast\varphi\left(g\right)<br /> \varphi\left(g\circ\varphi^{-1}\left(N\right)\right) &=&\varphi\left(\varphi^{-1}\left(N\right)\circ g\right)<br /> \varphi\left(g\circ U\right) &=&\varphi\left(U\circ g\right)<br /> \end{eqnarray}$ Im Anhang ist noch ein Bild aus der Vorlesung, das eine (relevante?) Frage verdeutlicht: Mit der Abbildung $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ lande ich irgendwie in der zweiten Gruppe. Aber was passierte bei der inversen Abbildung? Z.B. bei der Abbildung $\begin{eqnarray} e \rightarrow n \end{eqnarray}$ lande ich da bei e oder c oder garnichts? Bei einer Abbildung sollte es ja nur einen möglichen "Zielwert" geben. Vielen Dank im Voraus
13.12.2016, 20:14	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube nicht, dass dein Beweis korrekt ist. Ich würde 2 Fälle unterscheiden. Fall 1: $\begin{eqnarray} im(\varphi)\le N\le H \end{eqnarray}$ (das dürfte keine Probleme bereiten). Fall 2: $\begin{eqnarray} 1\le N\le im(\varphi) \end{eqnarray}$ , dann ist $\begin{eqnarray} G/ker(\varphi)\cong im(\varphi) \end{eqnarray}$
14.12.2016, 08:53	InfoErsti	Auf diesen Beitrag antworten »
Fall 1) Jetzt ist das Bild von $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ eine Untergruppe von N. Wie führt das aber dazu, dass $\begin{eqnarray} \varphi^-1(N) \end{eqnarray}$ überhaupt eine Teilmenge von G ist? Das wäre ja eine Voraussetzung dafür, dass es auch ein Normalteiler ist. Fall 2) Die Menge der Nebenklassen ist also isomorph zum Bild und daher eine bijektive Abbildung. Da N eine Untergruppe des Bildes ist, besitzt also auch jedes Element von N ein Abbildung in der Menge der Nebenklassen von G nach dem Normalteiler $\begin{eqnarray} ker(\varphi) \end{eqnarray}$ . Die Menge der Nebenklassen wird aber nur durch einen Normalteiler geschaffen und ist ja selber kein Normalteiler?

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