Kräftezerlegung Vektoren

13.12.2016, 22:43

Marsuxxx

Kräftezerlegung Vektoren

Im Rahmen der Vektorrechnung habe ich die Aufgabe im Anhang bekommen, wobei ich nicht wirklich nachvollziehen kann, was das mit Vektoren zu tun hat. Ich habe das System jetzt in mehrere Dreiecke zerlegt und mit tan und cos gerechnet. Ich habe mal meine Lösungen beigefügt. Jetzt komme ich aber bei c) nicht weiter. Ich hoffe, ihr könnt mir helfen. Besten dank!

14.12.2016, 08:30

Dopap

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schwer zu lesen. Ich würde zuerst mal mit Polarkoordinaten eine saubere Gleichung aufstellen. Ich bin mal so frei und benenne die Kraftvektoren mit $\begin{eqnarray*} \vec A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec B \end{eqnarray*}$ , somit

$\begin{align*} \vec A +\vec B +\vec F=\vec 0 \end{align*}$ oder

b.)

$\begin{align*} \binom {A}{\arctan(\frac ca)}_p +\binom {B}{\arctan(\frac {c+b}{a})}_p + \binom {F} {\tfrac{3\pi}{2}+\alpha}_p=\binom 00 \end{align*}$

das kann man kartesisch umschreiben, vereinfachen und erhält dann bei konkreten Werten 2 lineare Gleichungen in A,B.

Bei deiner "Handrechnung" kann man sich leicht vertun, stell dir mal vor, das wäre ein Dreibein im Raum und A wäre ein Seil geschockt

klar was damit gemeint ist ?

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Auch beim Original ist der Stab A auch als Seil denkbar oder ?

14.12.2016, 21:16

Marsuxxx

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Die erste Gleichung für das Kräftegleichgewicht kann ich nachvollziehen.

Aber bei der Vektorgleichung bei b) hört mein Verständnis auf. Ok, die untere Zeile sind die jeweiligen Winkel, die ich auch schon ausgerechnet hatte. Eigentlich addiert man ja Vektoren ja zeilenweise. Aber ich kann jetzt doch nicht einfach die obere Zeile alles addieren und dann die Winkel adieren? Oder?

14.12.2016, 22:31

Dopap

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nein, das geht nicht. Das geht nur bei kartesischen Koordinaten.

b.) $\begin{align*} \binom {A}{\arctan(\frac ca)}_p +\binom {B}{\arctan(\frac {c+b}{a})}_p + \binom {F} {\tfrac{3\pi}{2}+\alpha}_p=\binom 00 \end{align*}$

das kann man kartesisch umschreiben, vereinfachen und erhält dann bei konkreten Werten 2 lineare Gleichungen in A,B.

also dann frisch ans Werk:

$\begin{align*} \binom {A \cos(\arctan(\frac ca))}{A\sin(\arctan(\frac ca))}_k +\,\,... & =\binom 00_k \begin{pmatrix} A \frac{a}{\sqrt{c^2+a^2}} \\ A \frac{c}{\sqrt{c^2+a^2}} \end{pmatrix}_k +\,\, ... & =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}_k \end{align*}$

den Rest noch Ausfüllen und fertig mit b.) Wer will, kann noch A und/oder die Wurzel ausklammern.

Bem: saubere Schrift und Zeichnungen sind wichtig !

15.12.2016, 15:22

Marsuxxx

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Vielen Dank für die Antwort. Wieso ist der Winkel bei F eigentlich 3Pi/2 + Alpha? Eigentlich ist doch ein rechter Winkel Pi/2.

Und wie kommt man von cos(arctan(c/a)) zu der Wurzel im nächsten Schritt?

15.12.2016, 16:24

Dopap

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Zitat:

Original von Marsuxxx
Vielen Dank für die Antwort. Wieso ist der Winkel bei F eigentlich 3Pi/2 + Alpha? Eigentlich ist doch ein rechter Winkel Pi/2.

streng nach Vorschrift, der Winkel ist $\begin{eqnarray*} 270° +\alpha = \frac {3 \pi}{2 }+ \alpha \end{eqnarray*}$
siehe unten

Zitat:

Und wie kommt man von cos(arctan(c/a)) zu der Wurzel im nächsten Schritt?

ohne großen Aufwand:

$\begin{align*} \cos(\alpha)&= \frac {\text{Ankathete}}{\text{Hypothenuse}}\\ \sin(\alpha)&= \frac {\text{Gegenkathete}}{\text{Hypothenuse}} \end{align*}$

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