Ausgleichsproblem (nicht-kleinste-Fehlerquadrate) für x = PX

14.12.2016, 10:00	Parallelepiped	Auf diesen Beitrag antworten »
Ausgleichsproblem (nicht-kleinste-Fehlerquadrate) für x = PX Meine Frage: Hallo zusammen :-) Habe hier mal ein eher "ungewöhnliches" mathematisches Problem, dass mich schon einige Zeit auf trab hält (als Teil eines größeren Problems) -> "Kameratechnik": Gegeben: - viele 2D-Punkte (erweitert um einen Eintrag 1) i.d.F. (u, v, 1) - viele 3D-Punkte (erweitert um einen Eintrag 1) i.d.F. (x, y, z, 1) - Punkte gehören paarweise zusammen Gesucht: - eine Abbildungsmatrix P (3x4) die unsere 2D-Punkte (x) mit den 3D-Punkten (X) verknüpft, Problemlösung für: x = PX - Bedingung ist hier, da wir ordentlich überbestimmt sind, NICHT die Fehlerquadrate zu minimieren, sondern mal was anderes: - Die Abbildungsmatrix soll auch hier einen Fehler minimieren: Der Fehler ist definiert als die Winkeldifferenz zwischen dem Winkel "abgebildeter 2D-Punkt zu Ursprung" und "tatsächlicher 2D-Punkt zu Ursprung"... Etwas genauer zu diesem "Winkelabstand": Es lässt sich ja sowohl zwischen Ursprung und abgebildetem Punkt, als auch zwischen Ursprung und dem durch die Matrix berechneten Punkt ein Winkel über atan bzw. atan2 ausrechen. Diese Differenz (oder auch gerne zugunsten der Minimierung die quadratische Differenz) soll minimiert werden. Mal ganz salopp: Bei der Abbildung ist es mir wichtiger, dass die "Richtung" (gegenüber Ursprung) des Punktes stimmt, als dass der "Abstand zum Ursprung" passt. Meine Ideen: Ein paar Fragen habe ich zum Vorgehen: - Ist es geschickter (möglich/unmöglich), dass ganze im "Matrixmodus" zu lösen oder sollte man das in Gleichungen umschreiben? - Wie ist die genaue korrekte Bezeichnung dieses Problems (weitere Recherche)? Natürlich ausgenommen der Sache mit dem Winkelabstand. - Wie gehe ich da ran... stehe grad etwas aufm Schlag und möchte nicht unbedingt wieder viel Zeit in die falsche Richtung stecken ;-) Viele Grüße!
14.12.2016, 18:42	zyko	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ausgleichsproblem (nicht-kleinste-Fehlerquadrate) für x = PX Dein Problem wird üblicherweise mit Projektiver Geometrie gelöst, s. Literatur z.B. https://de.wikipedia.org/wiki/Projektive_Geometrie Wenn du nicht den Punkteabstand bei der Konstruktion der Fehlersumme berücksichtigst sondern statt dessen die Winkelabweichung betrachtest, muss du zunächst die Fehlersumme für jeden Punkt in den Winkeln formulieren $\begin{eqnarray} \Phi(\alpha_{p})=\sum_{j=0}^N (\alpha_{mj}-\alpha_{p})^2 \end{eqnarray}$ hierin sind die $\begin{eqnarray} \alpha_{mj} \end{eqnarray}$ die gemessenen (gerechneten) Winkel und $\begin{eqnarray} \alpha_{p} \end{eqnarray}$ der zu optimierende Winkel für den Punkt $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ . Anschließend ist noch die Summe über alle Punkte zu bilden: $\begin{eqnarray} \Phi_{Gesamt}=\sum_{p=0}^P \Phi(\alpha_{p})->Minimum \end{eqnarray}$ Damit hat man ein Optimierungsproblem mit $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ Unbekannten. Da die Winkel vermutlich nicht linear berechnet werden können sondern über ArcusFunktionen (atan etc.), wird dein Problem nichtlinear und damit nicht mittels eines linearen Gleichungssystem zu lösen sein. Verfahren zur Bestimmung eines Minimums für nichtlineare Problemstellungen: GradientenMethode (method of steepest descent) Evolutions Strategie Simulated annealing
22.12.2016, 15:43	Ulrich Ruhnau	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ausgleichsproblem (nicht-kleinste-Fehlerquadrate) für x = PX So wie ich die Aufgabe verstehe, geht es darum, den Raum zu fotografieren. Man denke sich einen Beobachtungspunkt $\begin{eqnarray} \vec{O} \end{eqnarray}$ , von dem aus man alle anderen Punkte im Raum beobachtet. Um diese Punkte auf eine Ebene abzubilden, muß man zunächst die Ebene im Raum aufstellen. Nehmen wir an, sie ist durch $\begin{eqnarray} \vec{B}=u \vec{a} + v \vec{b}+\vec{c} \end{eqnarray}$ gegeben. Jetzt wollen wir den Raumpunkt am Ort $\begin{eqnarray} \vec{C} \end{eqnarray}$ beobachten, d.h. auf die Ebene abbilden. $\begin{eqnarray} u \vec{a} + v \vec{b}+\vec{c} = \vec{O}+t (\vec{C}-\vec{O}) \end{eqnarray}$ Dazu müssen $\begin{eqnarray} u, v \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ passend gefunden werden. Die Kunst besteht darin, das Ganze in eine lösbare Matrizengleichung umzuwandeln.

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