Lösen eines Integrals

14.12.2016, 19:29

doeka

Lösen eines Integrals

Edit (mY+): Bitte KEINE Hilfeersuchen, schon gar nicht im Titel. Das nervt nur und ist entfernt worden. Und nichts ist dringend hier, wir sind nicht auf der Flucht!

Meine Frage:
Huhu, ich bräuchte dringend einen kleinen Denkanstoß wie ich ein bestimmtes Integral lösen kann:

$\begin{eqnarray*} \int_{x1}^{x2} \! \frac{1}{x^2\sqrt{1+A/x-B/(x^2)} } \, dx \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Leider gar keine mehr, ich hab schon verschiedene Substitutionen versucht, auch umzustellen. Aber irgendwie kamen immer noch schlimmere Integrale raus. Ich denke, ich übersehe mal wieder was offensichtliches.

Ich brauche auch keine komplette Lösung, nur einen Anstoß bzw. einen Tipp oder geeignete Substitution usw.

14.12.2016, 23:34

doeka

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RE: Lösen eines Integrals
Hmmm, finde ich komisch, dass man hier nicht nach Hilfe fragen darf.
Finde ich ziemlich schade, deswegen hab ich mich doch angemeldet...

15.12.2016, 02:10

mYthos

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Du hast das Ganze missverstanden, das war nicht böse gemeint.
Explizite Hilfeersuchen bzw. Dringlichkeitsanfragen sind - vor allem in der Überschrift (!) - entbehrlich, diese werden in keinem Forum gerne gesehen, weil die Leute dort sowieso helfen, wann und wenn sie können.
In unserem Forum bekommst du also ohnehin Hilfe, und diese sogar umsonst, sodass du nicht extra danach fragen oder bitten musst.
----------
Zu dem Integral kann ich persönlich dir nicht viel sagen, ausser dass es ziemlich unangenehm ist und ein komplexes Ergebnis hat.
Möglicherweise muss man es so umformen, dass das Resultat auf einen $\begin{eqnarray*} \arctan \end{eqnarray*}$ führt.

Gr
mY+

15.12.2016, 03:29

Guppi12

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Hallo,

es wäre ziemlich hilfreich, wenn du ein paar Informationen zu $\begin{eqnarray*} x_1,x_2,A,B \end{eqnarray*}$ hättest, damit man ewige Fallunterscheidungen vermeiden kann. Weiter möchte ich gerne einmal fragen, ob das so die Originalaufgabenstellung ist oder ob du da nach eigenen Folgerungen hingekommen bist?

15.12.2016, 06:13

Leopold

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Auf jeden Fall führt die Substitution $\begin{align*} x = \frac{1}{t} \end{align*}$ auf ein elementar lösbares Integral. Wie es dann weitergeht, dazu solltest du erst die Fragen von Guppi12 hinsichtlich der Parameter beantworten.

15.12.2016, 09:01

doeka

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Diese Substitution habe ich auch schon probiert, aber dann kommt ein quadratisches Polynom in der Wurzel heraus, wie ich das lösen soll weiß ich auch nicht. Mit der Wurzel erweitern und Partialbruchzerlegung durchführen krieg ich auch nicht hin, bzw. ich stoße immer auf Widersprüche.

Zu den Paramtern: x1 ist nicht gegeben, soll einfach eine Konstante sein. x2 soll unendlich sein, also dachte ich ich bilde den limes des Integrals für x2 gegen unendlich.

Ansonsten ist nichts gegeben, A ist eigentlich ein Bruch mit Konstanten, den ich zusammengefasst habe, B ist das Quadrat einer anderen Konstanten
Beide sollen aber positiv sein.

Wir sollen beweisen, dass sich für den differentiellen Streuquerschnitt für das Yukawa-Potential die Rutherford-Formel ergibt, wenn man den Exponenten der e-Funktion gegen 0 schickt. (habe ich bereits getan)

Dieses Integral müsste ich lösen, um den Strewinkel zu errechnen. Da ich fest davon ausgegangen bin, dass ich das tun muss, habe ich entschieden, die Frage hier auf matheboard zu posten - auch weil ich dachte, ich müsste eigentlich lernen wie man so ein Integral löst.

Ich denke es würde aber auch reichen, wenn ich B da irgendwie rausbekomme.

Welche Fallunterscheidungen wären denn bzgl. A und B zu treffen?

15.12.2016, 09:08

klarsoweit

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Mach doch erst mal die von Leopold genannte Substitution und dann sehen wir weiter.

15.12.2016, 09:25

doeka

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bei mir kam das hier raus (mit $\begin{eqnarray*} x = \frac{1}{r} \end{eqnarray*}$ )

$\begin{eqnarray*} \int_{r1}^{r2} \! \frac{1}{\sqrt{1+Ar-Br^2} } \, dx \end{eqnarray*}$

15.12.2016, 09:46

klarsoweit

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Eher: $\begin{eqnarray*} \int_{r1}^{r2} \! \frac{1}{\sqrt{1+Ar-Br^2} } \, dr \end{eqnarray*}$

Irgendwo ist noch ein Minus entschwunden. Und jetzt kommt es auf das Vorzeichen von B an.

15.12.2016, 09:52

doeka

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Oh ja, ich hab das Vorzeichen vergessen.
B ist positiv, weil es das Quadrat einer anderen Konstanten ist, d.h. $\begin{eqnarray*} B = b^2 \end{eqnarray*}$

Wäre es hilfreicher mit $\begin{eqnarray*} b^2 \end{eqnarray*}$ zu arbeiten?

15.12.2016, 10:11

mYthos

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Nicht wesentlich, aber es führt wenigstens dazu, dass im Resultat anstatt $\begin{eqnarray*} \sqrt B \end{eqnarray*}$ eben nur $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ auftaucht.

15.12.2016, 11:36

klarsoweit

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OK. Dann formen wir um: $\begin{eqnarray*} 1 + Ar - Br^2 = 1 - B \cdot (r^2 - \frac A B r) = 1 - B \cdot \left((r - \frac{A}{2B})^2 - \frac{A^2}{4B^2} \right) = 1 + \frac{A^2}{4B} - B \cdot (r - \frac{A}{2B})^2 \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst du $\begin{eqnarray*} r = \frac{A}{2B} + \sqrt{\frac{1 + \frac{A^2}{4B}}{B}} \cdot sin(u) \end{eqnarray*}$ substituieren.

15.12.2016, 18:06

doeka

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OK, dann bekomme ich unter dem Bruchstrich:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{(1+\frac{A^2}{4B} )*(1-\sin^2(u)) } = \sqrt{(1+\frac{A^2}{4B}) } * cos(u) \end{eqnarray*}$

und für das Differential:

$\begin{eqnarray*} dr = \sqrt{\frac{1+\frac{A^2}{4B} }{B} } \cdot cos(u)\cdot du \end{eqnarray*}$

Dann erhalte ich am Ende dieses Integral?

$\begin{eqnarray*} - \int_{u1}^{u2} \! \frac{1}{\sqrt{B} } \, du \end{eqnarray*}$

Oh je, wenn ich mich jetzt vertan hab wärs peinlich, hab das grade nur im Kopf gemacht ...

15.12.2016, 22:39

doeka

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An dieser Stelle möchte ich mich schon einmal ganz lieb für alle Tipps und Hilfestellungen bedanken smile

15.12.2016, 22:58

mYthos

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Am Ende tw. richtig, es fehlt allerdings noch im Zähler 2b *cos(u), wenn ich nicht irre ...
(die Wurzel im Nenner ist dann zu kürzen)

16.12.2016, 09:39

klarsoweit

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Zitat:

Original von mYthos
Am Ende tw. richtig, es fehlt allerdings noch im Zähler 2b *cos(u), wenn ich nicht irre ...

Hm. Also ich könnte mich auch mit $\begin{eqnarray*} - \int_{u1}^{u2} \! \frac{1}{\sqrt{B} } \, du \end{eqnarray*}$ anfreunden. Da ist ja soweit schon alles rausgekürzt (falls ich nichts übersehen habe).

18.12.2016, 18:58

doeka

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Der Cosinus müsste sich eigentlich wegkürzen. Woher kommt der Faktor $\begin{eqnarray*} 2b \end{eqnarray*}$ ?

Mal abseits vom Thema, ich habe immer Probleme mit dem Klammern, ich wäre nie drauf gekommen das Polynom so umzuformen, wie es klarsoweit getan hat.
Gibt es da irgendwelche Tricks oder Kniffe, wie man das "lernen" kann?

18.12.2016, 22:54

mYthos

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Kann sein, dass mir da ein Irrtum unterlaufen ist, ich hatte dies einmal so in meinem CAS stehen gehabt und mittlerweile gelöscht.
Das Resultat dürfte jetzt ohnehin klar sein ...

mY+

19.12.2016, 09:10

klarsoweit

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Zitat:

Original von doeka
Mal abseits vom Thema, ich habe immer Probleme mit dem Klammern, ich wäre nie drauf gekommen das Polynom so umzuformen, wie es klarsoweit getan hat.
Gibt es da irgendwelche Tricks oder Kniffe, wie man das "lernen" kann?

Das muß man einmal lernen wie das Einmaleins. Augenzwinkern

19.12.2016, 17:43

doeka

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meeh, war ja klar, aber man sagt ja so schön - Übung macht den Meister Big Laugh

Danke nochmal an Alle smile

19.12.2016, 20:20

Ulrich Ruhnau

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RE: Lösen eines Integrals
Ihr macht da einen Aufwand, das glaubt man ja gar nicht!

$\begin{eqnarray*} \int_{x_1}^{x_2} \! \frac{1}{x^2\sqrt{1+\frac{A}{x}-\frac{B}{x^{2} } } } \, dx=\int_{x_1}^{x_2} \! \frac{1}{x\sqrt{x^2+A x-B } } \, dx<br /> \end{eqnarray*}$

Dann verwende man einfach die Bronsteinformel 258 !
Wenn ihr durch eigene Rechnung integrieren wollt, dann ist also je nach Fallunterscheidung mit $\begin{eqnarray*} exp \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} sin \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} sinh \end{eqnarray*}$ zu substituieren.

25.12.2016, 12:22

doeka

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RE: Lösen eines Integrals
Warum bist du denn so wütend, nur weil ich lieber das Integral selber lösen möchte, als in irgendwelchen Büchern nachzuschauen?

Ich persönlich möchte nunmal gern möglichst viele Integrale selber lösen, und nicht aller "furzlang" in den Bronstein schauen. Mag sein, dass man das nicht immer hinbekommt, aber in diesem Fall wars doch möglich und ich habe btw auf diese Aufgabe fast volle Punktzahl bekommen.
Sooooo schlimm kanns also auch nicht gewesen sein.

Und nur nebenbei - wir bekommen nunmal keine Punkte darauf, Formeln aus Büchern aufzuschreiben, sondern zum Teil auch auf einzelne Lösungsschritte, die der Kontrolleur gerne sehen möchte. Also mach ich mir lieber die Arbeit und riskiere dafür nicht die Prüfungszulassung.

Tut mir leid, wenn das jetzt böse rüberkommt, aber ich verstehe wirklich nicht, warum du dich aufregst, nur weil ich ein Integral selbst lösen möchte, und ein paar nette Leute mir dabei geholfen haben.

25.12.2016, 16:23

mYthos

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@doeka
Da gebe ich dir Recht.
Man kann sich Vieles selbst erarbeiten, auch wenn es anfangs umständlich erscheint.
Natürlich sollte man in der Folge danach trachten, Rechenvorgänge, welche sich dauernd wiederholen, zu automatisieren (nicht immer das Rad neu erfinden) und vielleicht auch mal einen eleganten, kurzen und effizienten Rechenweg anzudenken.
Dabei ist die Verwendung einer Formel - wenn man sie versteht (!) und nicht sinnlos darin einsetzt - durchaus empfehlenswert.

Und @Ulrich, ja, du meinst, über manches erhaben zu sein. Und als "Profi" schüttelst du den Kopf über so viel Aufwand, den wir da treiben.
Du hättest auch liebenswürdiger und mit einem netteren Umgangston deinen "eleganten" Rechenweg präsentieren können.

mY+

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