f hoch n gleich Identität

15.12.2016, 00:23	NoraH	Auf diesen Beitrag antworten »
f hoch n gleich Identität Meine Frage: Hallo, ich hocke jetzt seit einiger Zeit über einem Beweis und hoffe, dass man mir hier weiterhelfen kann: zu zeigen ist: $\begin{eqnarray} f: M -> M \end{eqnarray}$ bijektiv mit M ist endliche Menge. Dann gilt: Es existiert ein n in den natürlichen Zahlen mit $\begin{eqnarray} f^{n} = id_{M} \end{eqnarray}$ , wobei f hoch n heißt, dass man n mal die Komposition von f mit sich selbst ausführt. Meine Ideen: Ich weiß, dass man hier wohl verwenden kann, dass die Menge aller Funktionen f von M nach M endlich sein muss, da M endlich; habe nur leider keine Ahnung, wie oder wo man das anwenden kann. Wäre über Tipps und Hilfe sehr dankbar! Liebe Grüße!
15.12.2016, 03:12	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: f hoch n gleich Identität Dein $\begin{align} f \end{align}$ ist nichts anderes als eine Permutation der Elemente von $\begin{align} M \end{align}$ . Damit ist $\begin{align} f \end{align}$ ein Element der symmetrischen Gruppe $\begin{align} S_{\|M\|} \end{align}$ , die auf der Menge $\begin{align} M \end{align}$ wirkt. Jedes Element der symmetrischen Gruppe $\begin{align} S_k \end{align}$ zur Potenz $\begin{align} k! \end{align}$ genommen ergibt die Identität (folgt aus Satz von Lagrange). Damit ist dein gesuchtes $\begin{align} n=\|M\|! \end{align}$ . Je nach der Funktion kann es natürlich kleinere Potenzen $\begin{align} m \end{align}$ geben, sodass $\begin{align} f^m=id_M \end{align}$ . Allerdings muss $\begin{align} m \end{align}$ immer die Ordnung von $\begin{align} S_{\|M\|} \end{align}$ , also $\begin{align} \|M\|! \end{align}$ teilen.
15.12.2016, 07:28	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Und auch die Frage nach dem kleinsten positiven $\begin{align} n \end{align}$ für konkretes $\begin{align} f \end{align}$ kann relativ einfach beantwortet werden: Man schreibt $\begin{align} f \end{align}$ in Zykeldarstellung, und dann wählt man als $\begin{align} n \end{align}$ das kgV der Zykellängen.

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