Exponentialreihe

17.12.2016, 13:38	Key	Auf diesen Beitrag antworten »
Exponentialreihe Meine Frage: Zeigen Sie, dass für alle x Element R folgendes gilt: i) 1+x <= exp(x) ii) exp(x) <= 1/(1-x) Meine Ideen: meine Idee für i) war: 1+x <= exp(x) 1+x <= SUMME k^k/k! 1+x <= 1 + x + x^2/2 + x^3/6 + x^4/24 + ... aber weiter komme ich nicht so richtig vielen Dank im Voraus liebe Grüße Diana
19.12.2016, 09:03	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Exponentalreihe Der Mittelwertsatz sollte dir da helfen: Sei b > 0 und f(x) = e^x. Dann gibt es ein zeta in [0; b] mit $\begin{eqnarray} f'(\zeta) = \frac{f(b) - f(0)}{b-0} \end{eqnarray}$ . Noch ein bißchen umstellen und fertig. Analog betrachtest du das Intervall [a; 0] mit a < 0. Die zweite Ungleichung ergibt sich aus der ersten mit der Substitution x = -z und z < 1.
21.12.2016, 20:04	Key	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Exponentalreihe wir dürfen leider keinen Mittelwertsatz verwenden, da wir ihn noch gar nicht behandelt haben. Nur die Summengleichungen, wie zum Beispiel: exp(x) = SUMMEx^k/k!
21.12.2016, 20:24	Matt Eagle	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Exponentialreihe Für (i) hast Du ja den Hinweis mit der Exponentialreihe. Bei (ii) solltest Du die rechte Seite als geom. Reihe schreiben und dann einfach abschätzen.
22.12.2016, 16:42	Key	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Exponentialreihe i) 1+x <= exp(x) 1+x <= 1 + x + (x^2/2) + (x^3/6) + (x^4/24)+.... 0 <= (x^2/2) + (x^3/6) + (x^4/24)+.... Die Ungleichung gilt für x=0 und x>0, aber was passiert für ein negatives x? da stehe ich auf dem schlauch ii) exp(x) <= 1/1-x falls x<1 exp(x) <= 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + .... 1 + x + (x^2/2) + (x^3/6) + (x^4/24)+.... <= 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + .... (x^2/2) + (x^3/6) + (x^4/24)+.... <= x^2 + x^3 + x^4 + .... hier komme ich auch nicht weiter
22.12.2016, 17:09	005	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Exponentialreihe Weiterer Vorschlag: Zu (i). Fuer $\begin{eqnarray} x\in(-1,0) \end{eqnarray}$ kann man die Abschaetzung fuer den Abbruchfehler aus dem Leibniz-Kriterium verwenden. Und fuer $\begin{eqnarray} x\le-1 \end{eqnarray}$ ist schon $\begin{eqnarray} 1+x\le0 \end{eqnarray}$ . Zu (ii). Das folgt, wenn man in (i) $\begin{eqnarray} -x \end{eqnarray}$ statt $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ schreibt. (Nachdem man gezeigt hat, dass (i) fuer alle $\begin{eqnarray} x\in\mathbb{R} \end{eqnarray}$ gilt!)
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23.12.2016, 11:46	Key	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Exponentialreihe also bei ii) 1/exp(-x) <= 1/(1-x) 1 <= exp(-x)/(1-x) 1-x <= exp(-x), da 1+x <= exp(x) für alle x Element lR gilt, also auch für -x richtig? aber wie löse ich i)?
23.12.2016, 13:12	Matt Eagle	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Exponentialreihe Bei i kannst Du 3 Fälle betrachten: 1. $\begin{eqnarray} x\geq 0 \end{eqnarray}$ - trivial 2. $\begin{eqnarray} -1\leq x < 0 \end{eqnarray}$ Betrachte dazu: $\begin{eqnarray} \exp(x)=1+x+\sum_{n=1}^\infty\underbrace{\left(\frac {x^{2n}}{(2n)!}+\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}\right)}_{>0} \end{eqnarray}$ 3. $\begin{eqnarray} x<-1 \end{eqnarray}$ - trivial

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