Direkte Summe von Unterräumen

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Gärtner2312 Auf diesen Beitrag antworten »
Direkte Summe von Unterräumen
Meine Frage:
In betrachten wir die beiden linearen Hüllen
und
. Zeigen Sie, dass
gilt und die Summe direkt ist.

Meine Ideen:
Also ich hätte die Inklusion von C^4 zu U1+U2 gezeigt und dann andersrum, dafür fehlt mir allerdings Basisvektoren von C^4 ich bin mir da unsicher, ob ich quasi wie bei R^2 (0,1) und (1,0) setze oder wie ich ich das "i" mit "ins Spiel" bringe. Für die direkte Summe hätte ich die linearen Hüllen mit Skalaren gleichgesetzt und dann müsste ja der schnitt 0 raus kommen.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Die Behauptung ist gleichbedeutend damit, dass die 4 Vektoren eine Basis von sind. Also zu zeigen: l.u. Tipp: Gauß auf die Matrix anwenden, Rang=4, fertig.
Gärtner2312 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja ich wollte auch schon die Matrix auflösen über Gauß, bin mir da aber sehr unsicher, wegen des imaginären i , was gibt es dort zu beachten?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn der hier als -Vektorraum betrachtet werden soll, wovon auszugehen ist (obwohl du es unterschlagen hast), dann richtet das i keinen Schaden an, da das i dann ja auch in dem Körper enthalten ist, über dem hier der Vektorraum betrachtet wird. Kann also auch von den Skalaren "erzeugt" werden.

Das wäre anders, wenn man das Ganze z.B. über betrachten würde. Aber das ist hier wohl nicht der Fall. Eine mögliche Basis für den als -Vektorraum ist dann ganz analog zum reellen Fall die kanonische Basis.

Folge Elvis' Vorschlag.
Gärtner2312 Auf diesen Beitrag antworten »

Der Körper ist in der Aufgabe tatsächlich nicht angegeben. Noch eine Frage, wir haben den Gauß eingeführt und haben gesagt, dass wir diese "Dreiecksmatrix" erzeugen indem wir Nullen unter der "gelben Treppe" erzeugen, um es jetzt mal ganz Salopp zu sagen und Diagonale von "oben links" nach "unten rechts" einsen sind. Aber wieso nehmen wir da einsen? Für einen normal LGS-Gauß müssen das doch keine Einsen sein oder?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Mit Einsen kann man die darunter liegenden Matrixelemente am leichtesten zu Null machen.
 
 
Gärtner2312 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, zum Verständnis nochmal, wenn ich den Gauß durchgeführt habe und ich keine Nullzeile habe, ist ja auch klar, dass meine n-Vektoren dann auch Basisvektoren des Erzeugendensystems sind oder?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

4 l.u. Vektoren sind eine Basis des 4-dimensionalen Vektorraums. Eine Basis ist ein Erzeugendensystem.
Gärtner2312 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja und weil wir keinen 0 Vektor haben ist jeder linear unabhängig oder?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, aber das ist völlig egal. Jeder von 0 verschiedene Vektor v ist l.u. weil aus av=0 a=0 folgt.
Zum Beispiel sind die Vektoren (1,0), (0,1), (1,1) in R² linear unabhängig, aber die Menge {(1,0), (0,1), (1,1)} wegen (1,0)+(0,1)-(1,1)=(0,0) linear abhängig. In diesem Beispiel sieht man das sofort, im allgemeinen braucht man dafür den Gaußschen Algorithmus (der nicht nur zum Lösen linearer Gleichungssysteme benutzt wird, sondern hier zur Rangbestimmung einer Matrix, das ist einfacher).
Gärtner2312 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

also ich habe das jetzt per Gauß gelöst und komme auf die Matrix: v1(1,0,-2i,-i) v2(0,2,3+2i,i) v3(0,0,3,4+7i) und v4(0,0,0,26-2i)

Sorry für die Schreibweise geht leider gerade nicht anders. Dadurch, dass ich jetzt diese obere Dreiecksmatrix habe kann ich also sagen, dass die Vektoren der Vereinigung der linearen Hülle linear unabhängig sind und deswegen zusammen eine Basis bilden unzwar von C^4. Hab ich mich da richtig ausgedrückt?

Um die direkte Summe zu zeigen muss ich doch theoretisch noch die Vektoren mit Skalaren gleichsetzen und dann die Skalare lösen (Auch mit Gauß?) und dann eingesetzt müsste ja 0 rauskommen, richtig?
Gärtner2312 Auf diesen Beitrag antworten »

Und noch eine Frage, bei dem Verfahren um auf "Gültigkeit oder Existenz der Basis" zu prüfen schreibt man ja die Vektoren "horizontal" untereinander. Bei Lösung mit Gauß würde man aber u einen Vektor senkrecht "aufstellen" oder um dann zumbeispiel die Skalare zu errechnen ist das richtig? Weil bei der Basisexistenz geht es ja gerade dadrum, dass man keine triviale Linearkombination bekommt ( wäre ja 0,0,0,0) .
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

U1 und U2 haben Dimension 2. U1+U2 kann höchstens Dimension 4 haben. Wenn die Summe nicht direkt wäre, hätte sie höchstens Dimension 3. Aufgabe fertig gelöst.

Zusatzfrage: Rang=Zeilenrang=Spaltenrang
Gärtner2312 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja okay aber zum lösen vom LGS mit Gauß muss ich die Vektoren doch nebeneinander horizontal aufschreiben oder nicht. Und die Dimension von U ist doch auch nur 2, weil ich mit dem Gauß die lineare unabhängigkeit gezeigt habe oder?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

LGS ist ein ganz anderes Thema, das man nicht mal eben schnell nebenbei erledigen kann.

Mit der anderen Frage hast Du völlig recht. Es hat sich durch die Berechnung des Rangs herausgestellt, dass die 4 Vektoren l.u. sind, also sind je 2 von ihnen ebenfalls l.u., insbesondere ist U1 und U2 2-dimensional. Deshalb erzeugen die 4 Vektoren den ganzen Vektorraum und die Summe C^4=U1+U2 ist direkt.

Wenn die Vektoren sich als l.a. herausgestellt hätten, würden sie den vollen Vektorraum nicht erzeugen. Dann wäre entweder U1 oder U2 eindimensional oder der Durchschnitt von U1 und U2 nicht 0.

Trick: So wie die Aufgabe formuliert war, konnte man schon von Anfang an vermuten, dass es tatsächlich so ist, wie es ist.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Übrigens komme ich in nur 3 Schritten von der Zeilenmatrix (ohne Division durch komplexe Zahlen) zu der Matrix . Diese hat ersichtlich Rang 4, so dass ich die letzten beiden Diagonalelemente nicht mehr zu 1 machen muss. (Im richtigen Leben soll ja auch alles möglichst ökonomisch berechnet werden Augenzwinkern )
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