Lösungsbasis aus Hauptvektoren bestimmen

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Reegar Auf diesen Beitrag antworten »
Lösungsbasis aus Hauptvektoren bestimmen
Meine Frage:
Hallo liebes Mathe Forum,
ich habe ein Problem bei meiner Seminararbeit und zwar lautet meine Aufgabenstellung wie folgt: Ich soll eine Lösungsbasis mit Hauptvektoren bestimmen für x'=A*x, wobei A (6x6 Matrix) lautet:
A=
2 0 0 0 0 0
1 0 1 1 1 0
1 -1 3 1 0 -1
0 0 0 2 0 0
1 -4 2 2 4 0
0 2 -1 -1 -1 2


Meine Ideen:
Hierfür bekam ich dann den 5-fachen Eigenwert 2 und den einfachen Eigenwert 3 heraus. Das Problem liegt nun bei der Berechnung der Hauptvektoren für den Eigenwert 2. Der Eigenvektor lautet w=(0;1;1;1;0;1)^T (Probe für den Eigenvektor ist richtig). Allerdings bekomme ich nun für jeden Hauptvektor den selben heraus und zwar
v=(1;1;1;1;1;1)^T, alle jeweils berechnet durch Matizenmultiplikation über (A-2E)^l *v=0 (l sei hier die Stufe des Hauptvektors).
Da die HV ja allerding nicht voneinander linear abhängig seien können und die Probe für den zweiten HV auch falsch war, frage ich mich wo mein Fehler liegen könnte.

MfG Reegar
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lösungsbasis aus Hauptvektoren bestimmen
Zitat:
Original von Reegar
Da die HV ja allerding nicht voneinander linear abhängig seien können und die Probe für den zweiten HV auch falsch war, frage ich mich wo mein Fehler liegen könnte.

Ja, das frage ich mich auch. Leider versagen da meine hellseherischen Fähigkeiten. Vielleicht magst du doch noch etwas von deiner Rechnung präsentieren. smile

Übrigens kann man Matrizen auch mit Latex schreiben:



Und ab damit in den Hochschulbereich.
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Reegar
Das Problem liegt nun bei der Berechnung der Hauptvektoren für den Eigenwert 2. Der Eigenvektor lautet w=(0;1;1;1;0;1)^T (Probe für den Eigenvektor ist richtig).

Etwas seltsam, dass du nur einen Eigenvektor herausbekommst - bei der vorliegenden Jordan-Struktur hat der Eigenraum zu Eigenwert 2 nicht nur die Dimension 1, sondern 3. verwirrt

Daher auch von mir die Bitte: Zeig deine Rechnung!
Reegar Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe gerechnet, wie das bei mir im Vachenauer beschrieben ist.
Und zwar den Eigenvektor über (A-2E)*w=0
und dann die Hauptvektoren über (A-2E)^2*v1=0; (A-2E)^3*v2=0;...; (A-2E)^5*v5=0

Danach bin ich auf folgendes Ergebnis gekommen:
[attach]43375[/attach]
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lösungsbasis aus Hauptvektoren bestimmen
Solch lapidare Sätze wie "Daraus folgte dann der Eigenvektor v_1 = ..." habe ich echt gern. Dir müßte doch auf den ersten Blick auffallen, daß die Matrix



zwei Nullzeilen hat und damit der Rang der Matrix maximal 4 beträgt. Tatsächlich hat die Matrix den Rang 3 und somit ist die Dimension des Kerns 6 - 3 = 3.

Ich erhalte folgende Eigenvektoren:

Nebenbei: deine "Lösung" ist die Summe aus dem ersten und dem dritten Vektor.
Reegar Auf diesen Beitrag antworten »

Und wie würde dann meine Lösungsbasis aussehen? Bzw. sind das jetzt dann auch schon die Hauptvektoren? Oder wie würde ich die dann berechnen um auf meine Lösungsbasis zu kommen?

MfG Reegar
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Reegar
Bzw. sind das jetzt dann auch schon die Hauptvektoren?

Das sind mögliche Basisvektoren des Eigenraums zum Eigenwert 2. smile

Zitat:
Original von Reegar
Oder wie würde ich die dann berechnen um auf meine Lösungsbasis zu kommen?

Vom Gauß-Algorithmus hast du noch nichts gehört? verwirrt
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