Gleichungssysteme

20.12.2016, 16:41

Thon

Gleichungssysteme

S1 und S2 sind gesucht.

Hey, hat jemand vielleicht einige Tipps, wie man solche Gleichungssyteme einfach löst, also mit Sinus und Cosinus. Also so Tricks. Ich könnte das ja mit dem Einsetzungsverfahren lösen, aber das dauert ja bissel und man kann schnell Fehler machen.

$\begin{align*} I: sin\alpha_1 \cdot S_1 -sin\alpha_2 \cdot S_2=0 \end{align*}$
$\begin{align*} II: -G-cos\alpha_2 \cdot S_2-cos\alpha_1 \cdot S_1=0 \end{align*}$

20.12.2016, 17:07

Steffen Bühler

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RE: Gleichungssysteme
Hilfreich ist bei sowas immer der Trigonometrische Pythagoras.

Viele Grüße
Steffen

20.12.2016, 17:39

Thon

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Also müsste ich ja theoretisch quadrieren, um den trigonometrischen Pythagoras anzuwenden. verwirrt

$\begin{align*} I:sin^2\alpha_1\cdot S_{1}^2 = sin^2\alpha_1 \cdot S_{2}^2 \end{align*}$
$\begin{align*} II:G^2+2 \cdot G \cdot cos \alpha_2 S_2 - cos^2\alpha_1 S_{1}^2 = -cos^2 \alpha_2 S_{2}^2 \end{align*}$

$\begin{align*} I+II: sin^2\alpha_1\cdot S_{1}^2 + G^2+2 \cdot G \cdot cos \alpha_2 S_2 - cos^2\alpha_1 S_{1}^2= sin^2\alpha_1 \cdot S_{2}^2 -cos^2 \alpha_2 S_{2}^2 \end{align*}$

$\begin{align*} I+II: S_{1}^{2} + G^2+2 \cdot G \cdot cos \alpha_2 S_2 = S_{2}^{2} \end{align*}$

Hmm ich glaube, ich mach irgendwas falsch, weil S1 und S2 sind ja immernoch in der Gleichung I+II drin. verwirrt

Das bringt mich nicht zum Ziel oder? verwirrt

20.12.2016, 17:52

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Thon
$\begin{align*} I:sin^2\alpha_1\cdot S_{1}^2 = sin^2\alpha_1 \cdot S_{2}^2 \end{align*}$

Nein, $\begin{align*} \sin^2\alpha_1\cdot S_{1}^2 = \sin^2\alpha_2 \cdot S_{2}^2 \end{align*}$

Zitat:

Original von Thon
$\begin{align*} II:G^2+2 \cdot G \cdot cos \alpha_2 S_2 - cos^2\alpha_1 S_{1}^2 = -cos^2 \alpha_2 S_{2}^2 \end{align*}$

Nein:
$\begin{align*} -G-\cos\alpha_2 \cdot S_2-\cos\alpha_1 \cdot S_1=0 \end{align*}$

$\begin{align*} \to -G-\cos\alpha_1 \cdot S_1 = \cos\alpha_2 \cdot S_2 \end{align*}$

$\begin{align*} \to (-1) \cdot (G+\cos\alpha_1 \cdot S_1) = \cos\alpha_2 \cdot S_2 \end{align*}$

$\begin{align*} \to (-1)^2 \cdot (G+\cos\alpha_1 \cdot S_1)^2 = \cos^2\alpha_2 \cdot S_2^2 \end{align*}$

$\begin{align*} \to G^2+2 \cdot G \cdot \cos\alpha_1 \cdot S_1 + \cos^2\alpha_1 \cdot S_1^2= \cos^2\alpha_2 \cdot S_2^2 \end{align*}$

(Mythos möge meine etwas saloppe Quadratur von Sinus und Cosinus verzeihen. Augenzwinkern

)

Und jetzt kannst Du addieren.

EDIT: Vorzeichenfehler behoben

20.12.2016, 18:29

Thon

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Wenn ich das bei dir so sehe, ist das voll einfach, aber wenn ich selber rechne, habe ich Schwierigkeiten. unglücklich

Ok, also:

$\begin{align*} S_{2}^{2} =S_{1}^{2} +G^2+2 \cdot G \cdot \cos\alpha_1 \cdot S_1 \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{\sin^2\alpha_1\cdot S_{1}^{2} +G^2+2 \cdot G \cdot \cos\alpha_1 \cdot S_1}{\sin^2\alpha_2 } = S_{2}^2 \end{align*}$

Und jetzt noch die Wurzel ziehen oder?

20.12.2016, 19:46

Steffen Bühler

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Die berühmten zwei Ks: Konzentration und Klammern. smile

Deine weitere Rechnung erscheint mir noch etwas zu kompliziert. Wenn Du

$\begin{align*} \sin^2\alpha_1\cdot S_{1}^2 = \sin^2\alpha_2 \cdot S_{2}^2 \end{align*}$

und

$\begin{align*} G^2+2 \cdot G \cdot \cos\alpha_1 \cdot S_1 + \cos^2\alpha_1 \cdot S_1^2= \cos^2\alpha_2 \cdot S_2^2 \end{align*}$

addierst, fallen doch links und rechts alle Quadrate weg! Deswegen machen wir das doch. Und dann kannst Du schön nach S1 auflösen.

21.12.2016, 12:59

HAL 9000

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Warum eigentlich quadrieren, und sich damit der Gefahr von Scheinlösungen aussetzen? Bezüglich der Variablen $\begin{align*} S_1,S_2 \end{align*}$ ist das ein ganz normales lineares 2x2-Gleichungssystem, und so sollte man es am besten auch lösen.

21.12.2016, 13:04

Steffen Bühler

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Grmbl - das kommt davon, wenn so eine Frage in Geometrie gestellt wird... Augenzwinkern

21.12.2016, 18:42

Thon

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Oki verstehe.

Ich werde mal weitere Gleichungen lösen. smile

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