Numerik: Eigenwerte einer symmetrischen, reellen Matrix sind reell

21.12.2016, 09:36

Lamyxx

Numerik: Eigenwerte einer symmetrischen, reellen Matrix sind reell

Meine Frage:
Hallo Leute,

ich habe eine Frage zu dem Beweis folgender Aussage:
"Die Eigenwerte einer symmetrischen, reellen Matrix $\begin{eqnarray*} A \in \mathbb R ^{nxn} \end{eqnarray*}$ sind wieder reell."

Meine Ideen:
Der Beweis an sich liegt mir vor und die Schritte kann ich auch nachvollziehen.
Ich verstehe nur nicht, wie ich auf den Ansatz $\begin{eqnarray*} \lambda <x,x> \end{eqnarray*}$ komme...

Kann mir da jemand helfen?

Vielen Dank!

21.12.2016, 10:14

klarsoweit

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RE: Numerik: Eigenwerte einer symmetrischen, reellen Matrix sind reell
Um das zu bewerten, müßte man mal den Beweis sehen.

21.12.2016, 11:45

Lamyxx

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RE: Numerik: Eigenwerte einer symmetrischen, reellen Matrix sind reell
Okay, also der Beweis sieht so aus:
$\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ soll x komplex konjugiert sein, aber ich weiß nicht, wie ich im Formeleditor nur einen strick über das x kriege

$\begin{eqnarray*} \lambda <x,x> = < x,\lambda x> = <x,Ax> = \vec{x}^{T} Ax = \vec{x}^{T}A^{T}x = <\vec{A}x,x> = <\lambda x,x> = \vec{\lambda} <x,x> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{\lambda} = \lambda, weil \lambda \end{eqnarray*}$ reell ist

21.12.2016, 11:45

Ehos

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Dieser Satz hat große Bedeutung für die lineare Algebra/Analysis. Zum Glück ist der Beweis sehr einfach und findet sich in jedem Algebra/Analysis-Buch. Ich schreibe es nochmal auf.
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Satz:
Eine symmetrische, reele Matrix hat reelle Eigenwerte.

Beweis:
Man multipliziert die Eigenwertgleichung $\begin{eqnarray*} Ax=\lambda x \end{eqnarray*}$ von rechts sowie von links mit x.

$\begin{eqnarray*} Ax\cdot x=\lambda x\cdot x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x\cdot Ax=x \cdot \lambda x \end{eqnarray*}$

Die Differenz beider Gleichungen lautet

$\begin{eqnarray*} \underbrace{Ax\cdot x-x\cdot Ax}_{=0}=\underbrace{\lambda x\cdot x-x \cdot \lambda x}_{(\lambda-\lambda^*)\cdot (x\cdot x)} \end{eqnarray*}$

Die linke Seite verschwindet, was aus der Definition einer symmetrsichen Matrix folgt. Auf der rechten Seite ziehen wir $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ in beiden Summanden vor das Skalarprodukt. Dabei ist zu beachten, dass man $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ konjugieren muss, wenn man es aus dem zweiten Faktor vor das Skalarprodukt zieht. Letzteres folgt aus der allgemeinen Definition des Skalarproduktes. Wir haben also

$\begin{eqnarray*} 0=(\lambda-\lambda^*)\cdot (x\cdot x) \end{eqnarray*}$

Bekanntlich ist die Differenz $\begin{eqnarray*} \lambda-\lambda^* \end{eqnarray*}$ gerade das 2i-fache des Imaginärteils von $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \lambda-\lambda^*=2\cdot Im(\lambda) \end{eqnarray*}$ . Da das Betragsquadrat $\begin{eqnarray*} x \cdot x \end{eqnarray*}$ nicht verschwindet, muss folglich der Imaginärteil von $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ verschwinden, so dass $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ reell ist.

21.12.2016, 11:57

Lamyxx

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Ah, okay..jetzt ist es klar. Danke für deine Hilfe

21.12.2016, 12:07

klarsoweit

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RE: Numerik: Eigenwerte einer symmetrischen, reellen Matrix sind reell

Zitat:

Original von Lamyxx
$\begin{eqnarray*} \lambda <x,x> = < x,\lambda x> = <x,Ax> = \vec{x}^{T} Ax = \vec{x}^{T}A^{T}x = <\vec{A}x,x> = <\lambda x,x> = \vec{\lambda} <x,x> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{\lambda} = \lambda, weil \lambda \end{eqnarray*}$ reell ist

Hm. Es kommt jetzt darauf an, wie das Skalarprodukt definiert wurde. Sofern $\begin{eqnarray*} \lambda <x,y> = <\lambda x, y> \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda <x,y> = <x, \overline{\lambda}y> \end{eqnarray*}$ gilt, müßte es so lauten:

$\begin{eqnarray*} \lambda <x,x> = <\lambda x, x> = <A \cdot x, x> = (A \cdot x)^T \cdot x = x^T \cdot A^T \cdot x = x^T \cdot A \cdot x = <x, A \cdot x> = <x, \lambda x> = \overline{\lambda} <x,x> \end{eqnarray*}$

Aus $\begin{eqnarray*} \lambda = \overline{\lambda} \end{eqnarray*}$ folgt, daß lambda reell ist.

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