Isomorphie zweier Vektorräume

Neue Frage »

Mango123 Auf diesen Beitrag antworten »
Isomorphie zweier Vektorräume
Meine Frage:
Es ist zu beweisen:
Zwei Vektorräume V und W über K sind genau dann semilinear isomorph, d.h., es gibt mindestens eine semilineare Bijektion V->W, falls sie linear isomorph sind.

Meine Ideen:
Da genau dann steht muss es in beide Richtungen bewiesen werden.
"=>":
Sei V->W semilinear und zeta aus Aut(K) und isomorph
Weiters sei zeta(c)=c
Einsetzen in Definition für semilineare Abbildungen ergibt:
f(c*x)=zeta(c)*f(x)=c*f(x) (lt. Annahme zeta(c)=c)
Die semilineare Abbildung ist somit eine lineare Abbildung.
Da die semilineare Abbildung isomorph ist und die lineare Abbildung gleich ist, ist diese auch isomorph.

Die andere Richtung sollte analog gehen...
Passt das soweit?
Clearly_wrong Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst dir den zugehörigen Körperisomorphismus nicht selbst aussuchen, der wird zusammen mit der semilinearen Abbildung vorgegeben. Für einen korrekten Beweis der Aussage definiere . Dann ist ein linearer Isomorphismus, nachweisen! Eine weitere Möglichkeit ist der Nachweis, dass semilineare Abbildungen lineare Unabhängigkeit erhalten kombiniert mit einem Dimensionsargument.
Die Rückrichtung ist nicht analog, sondern trivial, weil lineare Abbildungen semilinear sind.
strumpf Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für den Tipp! Hätte aber noch eine Frage: Wie kann ich das Dimensionsargument formulieren wenn die Vektorräume unendlichdimensional sind? Bzw. stützt sich dieses Argument auf einen bestimmten Satz?
Clearly_wrong Auf diesen Beitrag antworten »

Auch im unendlich-dimensionalen Fall funktioniert das Dimensionsargument. Es liefert hier, dass die Abbildung eine Basis von auf eine Teilmenge einer Basis von abbildet. Also hat eine Basis von mindestens die Kardinalität einer Basis von . Weil auch semilinear ist, gilt die Umkehrung ebenso, also haben Basen von und gleiche Kardinalität, was für die Isomorphie schon ausreichend ist.
strumpf Auf diesen Beitrag antworten »

Das hilft mir, danke für den Tipp!
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »