komplexe Zahl hoch komplexe Zahl

24.12.2016, 13:22

PHBU

komplexe Zahl hoch komplexe Zahl

Hallo Forumnutzer,

ich bin mir unsicher, ob die Formel stimmt. Es soll eine komplexe Zahl mit einer komplexen Zahl potenziert werden.

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{rl} \phantom\Leftrightarrow & z^\omega=e^{\textbf{ln}\left({z}\right)\omega}\\ \Leftrightarrow & z^\omega=e^{\mathfrak{R}\left({\textbf{ln}\left({z}\right)\omega}\right)+\mathfrak{I}\left({\textbf{ln}\left({z}\right)\omega}\right)i}\\ \Leftrightarrow & z^\omega=e^{\mathfrak{R}\left({\textbf{ln}\left({z}\right)\omega}\right)}e^{\mathfrak{I}\left({\textbf{ln}\left({z}\right)\omega}\right)i}\\ \Leftrightarrow & z^\omega=e^{\mathfrak{R}\left({\textbf{ln}\left({z}\right)\omega}\right)}\left({\textbf{cos}\left({\textbf{arg}\left({\mathfrak{I}\left({\textbf{ln}\left({z}\right)\omega}\right)}\right)}\right)+\textbf{sin}\left({\textbf{arg}\left({\mathfrak{I}\left({\textbf{ln}\left({z}\right)\omega}\right)}\right)}\right)i}\right)\color{red}{,z\in\mathbb{C}\land\omega\in\mathbb{C}} \end{array} \end{eqnarray*}$

Das wäre ja glaube ich der Hauptzweig, denn der natürliche Logarithmus ist ja bei den komplexen Zahlen eigentlich eine Relation.

Allen noch besinnliche Feiertage wünscht
PHBU

24.12.2016, 13:44

Clearly_wrong

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Bei der Potenzierung von komplexen Zahlen muss man sich, bevor man Überlegungen anstellt, auf einen Zweig des Logarithmus festlegen. Dementsprechend können solche Überlegungen niemals gleichzeitig für die gesamte Ebene richtig sein. Wenn du dich für die komplexe Potenz entscheidest, die zum Hauptzweig des Logarithmus gehört, so kannst du $\begin{align*} z^w \end{align*}$ nur für $\begin{align*} z\in \mathbb C\setminus(-\infty,0] \end{align*}$ definieren.

Abgesehen davon verstehe ich nicht, wieso du am Ende noch ein Argument mit dazubekommst. Wenn du das streichst, stimmt die letzte Äquivalenz.

Anmerkung: Es ist unüblich, den Hauptzweig des Logarithmus mit $\begin{align*} \ln \end{align*}$ zu bezeichnen, normalerweise ist damit ausschließlich der reelle Logarithmus gemeint.

24.12.2016, 14:52

PHBU

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Danke für die Antwort!
Hallo Clearly_wrong,

Zitat:

Abgesehen davon verstehe ich nicht, wieso du am Ende noch ein Argument mit dazubekommst. Wenn du das streichst, stimmt die letzte Äquivalenz.

Ja, stimmt...Das ist natürlich falsch... So müsste es richtig sein:

$\begin{eqnarray*} z^\omega=e^{\mathfrak{R}\left({\textbf{ln}\left({z}\right)\omega}\right)}\left({\textbf{cos}\left({\mathfrak{I}\left({\textbf{ln}\left({z}\right)\omega}\right)}\right)+\textbf{sin}\left({\mathfrak{I}\left({\textbf{ln}\left({z}\right)\omega}\right)}\right)i}\right)\color{red}{,z\in\mathbb{C}\land\omega\in\mathbb{C}} \end{eqnarray*}$

Zitat:

nur für $\begin{eqnarray*} z\in\mathbb{C}\setminus\left({-\infty,0}\right] \end{eqnarray*}$ definieren.

Müsste das nicht der natürliche Logarithmus für komplexe Zahlen sein:
$\begin{eqnarray*} \textbf{ln}\colon\left\{{x\in\mathbb{C}}~\middle|~{\left|{x}\right|\neq0}\right\}\to\mathbb{C},z\mapsto\textbf{ln}\left({z}\right)=\textbf{ln}\left({\left|{z}\right|}\right)+\textbf{arg}\left({z}\right)i \end{eqnarray*}$

Dies müsste doch für alle komplexen Zahlen, außer die, mit dem Betrag 0 gelten, oder? Und wenn nein, warum nicht? Sorry, gestern habe ich angefangen mit komplexen Zahlen... verwirrt

Wikipedia Komplexer_Logarithmus
Hier wird allerdings auch "ln" als Funktionsname verwendet. Was gibt es denn da noch für alternative Namen? Verwendet man an Hochschulen/Unis eine andere Bezeichnung?

Vielen Dank für die Antwort!

Mit freundlichen Grüßen
PHBU

24.12.2016, 15:20

Clearly_wrong

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Ich kenne zum Beispiel die Bezeichnung Log für den Hauptzweig, also mit großem L. Letztendlich kann man den nennen wie man will, man sollte es nur einmal dazusagen.

Dass die Bezeichnung $\begin{align*} \ln \end{align*}$ nicht sehr sinnvoll ist, sieht man auch bei Wikipedia, unter anderem bei der Formel $\begin{align*} \ln z = \ln|z| + i\arg z \end{align*}$ . Wenn man hier links stattdessen $\begin{align*} \operatorname{Log}(z) \end{align*}$ schreibt, so kann man diese Gleichung zum Berechnen benutzen, mit $\begin{align*} \ln \end{align*}$ ist hier einfach der reelle Logarithmus gemeint. So, wie es dort steht, muss man sich dann allerdings fragen, wie man denn nun $\begin{align*} \ln|z| \end{align*}$ berechnen soll.

Die Definition ist natürlich sinnvoll, sobald $\begin{align*} z\neq 0 \end{align*}$ . Meist möchte man aber haben, dass der Logarithmus stetig und dann sogar automatisch beliebig oft differenzierbar ist, dafür muss man sich dann einschränken.

24.12.2016, 15:34

PHBU

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Alles klar!
Hallo nochmal Clearly_wrong,

Zitat:

zum Beispiel die Bezeichnung Log für den Hauptzweig

Gut, alles klar!

Zitat:

Meist möchte man aber haben, dass der Logarithmus stetig und dann sogar automatisch beliebig oft differenzierbar ist, dafür muss man sich dann einschränken.

Stimmt, wegen der Stetigkeit... Gut, dass kann man ja dann dazuschreiben.

Danke nochmal für die Hilfe und ein frohes Fest!

PHBU

24.12.2016, 16:19

Dopap

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Ich hab es immer so erklärt:

$\begin{align*} z_1=a_1+ib_1=r_1e^{i\varphi_1} \end{align*}$
$\begin{align*} z_2=a_2+ib_2 \end{align*}$

$\begin{align*} z_1^{z_2}=(r_1e^{i\varphi_1})^{a_2+ib_2} \end{align*}$
$\begin{align*} z_1^{z_2}=r_1e^{ia_2\varphi_1+i^2b_2\varphi_1} \end{align*}$
$\begin{align*} z_1^{z_2}=r_1e^{-b_2\varphi_1+ia_2\varphi_1} \end{align*}$
$\begin{align*} z_1^{z_2}=r_1e^{-b_2\varphi_1}e^{ia_2\varphi_1} \end{align*}$
$\begin{align*} z_1^{z_2}=Re^{i\zeta} \end{align*}$

korrekt soweit ?

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