Polynomfunktionen über endliche Körper

25.12.2016, 14:36	Jannik25	Auf diesen Beitrag antworten »
Polynomfunktionen über endliche Körper Hallo, meine Frage bezieht sich auf Polynome über endliche Körper. Bekannterweise hat ja z.B. der endliche Körper zwei Elemente und zwar: $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_2=\left\{0,1\right\} \end{eqnarray}$ . Nun soll es vier Polynomfunktionen von $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_2 \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_2 \end{eqnarray}$ geben. Nun ist meine Frage: Welche Polynomfunktionen sind das? Kann man diese bestimmen? Meine Überlegungen: Die Menge der Abbildungen ist: {(0->0, 1->1), (0->1, 1->0), (0->1, 1->1), (0->0, 1->0)} Wie schließe ich daraus die Polynomfunktionen? Lg Jannik
25.12.2016, 17:09	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast ja schon herausgefunden, dass es genau vier Abbildungen des Körpers in sich gibt. Nun musst du zu jeder dieser Abbildungen ein Polynom finden, dass diese Abbildung induzuiert. Es wird hier am schnellsten gehen, wenn du ein wenig herumprobierst. Es geht natürlich auch systematisch, aber das ist hier noch nicht nötig. Ich gebe dir ein Beispiel: (0->1, 1->0) wird induziert durch $\begin{align} 1-x \end{align}$ . Jetzt überlege dir für die anderen 3 noch Beispiele.
25.12.2016, 18:01	Jannik25	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, vielen Dank. (0->0, 1->1) wäre dann induziert durch x (0->1, 1->1) könnte man 1 nehmen (0->0, 1->0) könnte man 0 nehmen Nun weiß ich allerdings nicht ob es nicht mehrere Möglichkeiten für die Polynomfunktionen gibt. Spielt der Grad eine Rolle? Zum Beispiel würde auch x^2 die Abbildung (0->0, 1->1) erfüllen.
25.12.2016, 18:04	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Natürlich gibt es hier mehrere Möglichkeiten. Ist das ein Problem?
25.12.2016, 18:32	Jannik25	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke nicht. Da es ja vier Abbildungen gibt bin ich davon ausgegangen, dass diese eindeutig bestimmt sind. Dem Anschein nach ist das aber wohl nicht so.
25.12.2016, 18:48	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Die können ja garnicht eindeutig bestimmt sein, weil es unendlich viele Polynome über $\begin{align} \mathbb F_2 \end{align}$ gibt, aber eben nur 4 verschiedene Abbildungen. Es kann natürlich nicht mehr polynomielle Abbildungen geben als Abbildungen überhaupt, deswegen kann es höchstens 4 polynomielle Abbildungen geben. Dass auch wirklich alle Abbildungen durch Polynome induziert werden, muss man dann nachweisen. Man muss hier natürlich unterscheiden: Zwei Polynome können verschieden sein, auch wenn sie die selbe Abbildung induzieren, man käme nie auf die Idee, in diesem Kontext $\begin{align} x=x^2 \end{align}$ als Polynome zu schreiben.
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