Schätzung der Anzahl der verkauften Lotterielose in Abhängigkeit der gezogenen Gewinne

25.12.2016, 22:50	Matthias314	Auf diesen Beitrag antworten »
Schätzung der Anzahl der verkauften Lotterielose in Abhängigkeit der gezogenen Gewinne Meine Frage: Angenommen, bei der bekannten Lotterieziehung werden 6 Zahlen aus 49 Zahlen gezogen. Es wird eine unbekannte Anzahl an Lotterielosen verkauft. Wir nehmen an, dass jeder Spieler zufällig 6 Zahlen aus den 49 Zahlen ankreuzt. Veröffentlicht wird dann die Anzahl der Gewinner. Wie viele Lose haben 6 richtige Zahlen, wie viele 5 richtige Zahlen, wie viele 4 richtige und wie viele 3 richtige angekreuzt. Auf Basis dieser Informationen soll geschätzt werden, wie viele Lose insgesamt an der Ziehung teilgenommen haben. Es soll die wahrscheinlichste Anzahl von Losen ermittelt werden und in einem zweiten Schritt (falls das möglich ist) ein 95%-Intervall für die Anzahl der Lose. Meine Ideen: Die Anzahl der Lose unter Verwendung nur jeweils einer dieser Informationen zu schätzen, gelingt. Beispielsweise: Anzahl(3 richtige Zahlen) / P(3 richtige Zahlen) = Schätzung für Anzahl der Lose. (Es braucht durchschnittlich 1/p Versuche, damit ein Ereignis mit Wahrscheinlichkeit p einmal eintritt. Entsprechend braucht es durchschnittlich n/p Versuche, damit ein Ereignis mit Wahrscheinlichkeit p n-mal eintritt.) Auch ist es noch möglich, mithilfe einer Maximum Likelihood Schätzung unter Verwendung aller Informationen die wahrscheinlichste Anzahl der Lose zu schätzen. Dazu wird einfach versucht, durch Ausprobieren dasjenige n zu finden, für welches die Wahrscheinlichkeit des eingetroffenen Ereignisses am größten ist: P(Ergebnis tritt bei genau n Losen ein) = P(3 richtige) ^ Anzahl(Lose mit 3 richtigen) * P(4 richtige) ^ Anzahl(Lose mit 4 richtigen) * P(5 richtige) ^ Anzahl(Lose mit 5 richtigen) * P(6 richtige) ^ Anzahl(Lose mit 6 richtigen) * Anzahl der Kombinationen Diese Funktion steigt für wachsende n bis zu einem (oder zwei gleichwertigen) Maximum(s), danach fällt sie immer weiter ab. Das Maximum ist damit auffindbar. Wozu ich jedoch noch keine Idee habe, ist, wie man ein Konfidenzintervall für die Anzahl der Lose konstruieren könnte.
30.12.2016, 21:48	Ulrich Ruhnau	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schätzung der Anzahl der verkauften Lotterielose in Abhängigkeit der gezogenen Gewinne Nachdem ich mich eine ganze Weile mit dem Thema beschäftigt habe, gebe ich mal eine kurze Antwort für k Richtige. Die Wahrscheinlichkeit auf k Richtige beim Lotto zu tippen beträgt: $\begin{eqnarray} p_k=\frac{\begin{pmatrix} 6 \\ k \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 43 \\ 6 - k \end{pmatrix} }{\begin{pmatrix} 49 \\ 6 \end{pmatrix} } \end{eqnarray}$ Bei $\begin{eqnarray} k = 4 \end{eqnarray}$ bedeutet das: $\begin{eqnarray} p_4=\frac{13545}{13983816}=9,686197244014080e-04 \end{eqnarray}$ Nehmen wir an, nach einem Lottospiel wird bekannt, daß g=7 Spieler genau k=4 Richtige getippt haben. Die Frage ist nun, wie gut man auf die Anzahl der teilnehmenden Spieler n schließen kann. Man könnte annehmen, das Wahrscheinlichste sei, daß $\begin{eqnarray} n = \frac{g}{p_k} = 7.226,77 \end{eqnarray}$ Spieler teilgenommen haben. Genau genommen muß man aber berücksichtigen, wie die Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Spielerzahl gewesen ist, bevor die Losung statt fand. Falls hier z.B. eine Gleichverteilung für alle n vorgelegen hat, dann kann man eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Spieleranzahl berechnen. Das habe ich mit Matlab für unseren Fall für g=7 und k = 4 gemacht.
30.12.2016, 22:12	Ulrich Ruhnau	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schätzung der Anzahl der verkauften Lotterielose in Abhängigkeit der gezogenen Gewinne Im nachfolgenden Wahrscheinlichkeitsdiagramm geben drei durchgezogenen Linien die 5%, 50% und 95% -Marken an. Das Maximum liegt tatsächlich beim zuvor berechneten Wert (siehe strichpunktierte Linie): $\begin{eqnarray} n = \frac{g}{p_k} = 7.226,77 \end{eqnarray}$ [attach]43446[/attach] Dazu gehört natürlich auch die Verteilungsfunktion F(n): [attach]43447[/attach] Aus der Verteilungsfunktion geht hervor, daß mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 % die Spielerzahl zwischen 4110 und 13569 gelegen hat. Der Medianwert von 7916 liegt etwas höher als beim Maximum. Das ist typisch für eine Poisonverteilung.
31.12.2016, 14:52	Ulrich Ruhnau	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schätzung der Anzahl der verkauften Lotterielose in Abhängigkeit der gezogenen Gewinne Wegen eines kleinen Programmierfehlers hat anfangs die Normierung für die Wahrscheinlichkeit nicht gestimmt. Hier seien noch mal die Fälle 1. g=7 Gewinner mit k=4 Richtigen und darunter 2. g=70 Gewinner mit ebenfalls k=4 Richtigen dargestellt. [attach]43451[/attach][attach]43453[/attach] Im zweiten Diagramm mit 70 glücklichen Gewinnern ist die Wahrscheinlichkeit, daß eine Anzahl von 59607 bis 88162 Losen verkauft wurden, 90 %.

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