Abb. Mat. vom Vektorraum der rellen Polynome

26.12.2016, 17:07

balance

Abb. Mat. vom Vektorraum der rellen Polynome

Hallo,

es geht mir hier vorallem darum, ob meine Notation so passt. Bitte kritisch sein!!

Sei $\begin{eqnarray*} P_2 \end{eqnarray*}$ der Vektorraum der rellen Polynome vom Grad $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 2 und

$\begin{eqnarray*} \quad L(u):=(x^2+1)u''+u, \quad u\in P_2 \end{eqnarray*}$

a) Bestimme die Abb. Mat. von $\begin{eqnarray*} L: P_2 \to P_2 \end{eqnarray*}$ bzgl. der Standardbasis $\begin{eqnarray*} \{1,x,x^2\} \end{eqnarray*}$

b) Zeige, dass L ein Isomorphismus ist.

c) Bestimme die Abb. Mat. der Inversen $\begin{eqnarray*} L^{-1} \end{eqnarray*}$ bzgl. der Standardbasis und benutzte das Ergebnis, um die DGL $\begin{eqnarray*} (x^2+1)u''+u=x^2 \end{eqnarray*}$ zu lösen. (Man verlange, dass die Lösung in $\begin{eqnarray*} P_2 \end{eqnarray*}$ liege)

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Sei $\begin{eqnarray*} L: P_2 \to P_2, \quad u \mapsto (x' 2+1)u''+u \end{eqnarray*}$ mit der Basis $\begin{eqnarray*} \{1,x,x^2\} \end{eqnarray*}$

a)
Wir wechseln in den Koordinatenraum und identifizieren:

$\begin{eqnarray*} e_1=1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e_2=x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e_3=x^2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wir bilden die drei Vektoren ab:

$\begin{eqnarray*} L(e_1)=1 \Rightarrow \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} L(e_2)=x \Rightarrow \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} L(e_3)=3x^2+2 \Rightarrow \begin{pmatrix}3\\0\\2\end{pmatrix}] \end{eqnarray*}$

Somit bekommen wir die Abbildungsmatrix: $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix}1&0&2\\0&1&0\\0&0&3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

b) Es gilt: L Isomorphismus $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ L bijektiv $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow det(A)\neq 0 \end{eqnarray*}$

Somit: $\begin{eqnarray*} det(A)=3\neq 0 \quad \Rightarrow \quad A \ \text{bij.} \Rightarrow L Isomorphismus \end{eqnarray*}$

Anmerkung: Für uns ist Isomorphismus "gleich" bijektivität. Es ist sicherlich nicht wunderschön es so hinzuschreiben aber naja, mir fällt nichts schöneres ein.

c) Wir können einfach $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ invertieren. Somit ist $\begin{eqnarray*} A^{-1}=\begin{pmatrix}1&0&-2/3\\0&1&0\\0&0&1/3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ die gesuchte Abb. Matrix für $\begin{eqnarray*} L^{-1} \end{eqnarray*}$

In a) wurde $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ identifiziert. Um die DGL zu lösen, lösen wir also:

$\begin{eqnarray*} Aq=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

somit $\begin{eqnarray*} q=A^{-1}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&-2/3\\0&1&0\\0&0&1/3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

somit ist die Lösung: $\begin{eqnarray*} \frac{x^3}{3}-\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

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Gibts hier irgendwas zu kritisieren?

27.12.2016, 00:49

Clearly_wrong

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Ich sehe nichts kitisierenswertes. Eventuell würde ich in $\begin{eqnarray*} L(e_1)=1 \Rightarrow \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}] \end{eqnarray*}$ statt dem Folgepfeil eher ein $\begin{align*} \sim \end{align*}$ oder $\begin{align*} \simeq \end{align*}$ o.Ä. verwenden, um "entspricht" zu kenntzeichnen. Sehe ich aber nicht zwingend.

Zwei Typos:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} L(e_2)=x \Rightarrow \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}] \end{eqnarray*}$

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1&0&-2/3\\0&1&0\\0&0&1/3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

27.12.2016, 11:05

balance

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Zitat:

Original von Clearly_wrong
Ich sehe nichts kitisierenswertes. Eventuell würde ich in $\begin{eqnarray*} L(e_1)=1 \Rightarrow \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}] \end{eqnarray*}$ statt dem Folgepfeil eher ein $\begin{align*} \sim \end{align*}$ oder $\begin{align*} \simeq \end{align*}$ o.Ä. verwenden, um "entspricht" zu kenntzeichnen. Sehe ich aber nicht zwingend.

Zwei Typos:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} L(e_2)=x \Rightarrow \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}] \end{eqnarray*}$

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1&0&-2/3\\0&1&0\\0&0&1/3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ja, gut. Es ging mir ja vorallem darum, dass ich nicht gleich absoluten Blödsinn hingeschrieben habe. smile

Merci

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