SLn(K) ist kern von GLn(K)

27.12.2016, 13:05

Sunny911

SLn(K) ist kern von GLn(K)

Meine Frage:
Hallo liebe Hilfsbereite Menschen.
Ich nutze die Weihnachtsferien um mich auf die im Februar bevorstehende Algebraklausur vorzubereiten, indem ich mir alle bisher bearbeiteten Aufgaben durchsehe.
Dabei bin ich auf folgende nicht bewiesene Aussage in der Musterlösung gesoßen:

der Kern von GLn(K) ist SLn(K)

Kann mir das jemand erläutern?

Vielen Dank im Voraus

Meine Ideen:
Ich weiß, was eine Gruppe ist und auch, was GLn und SLn beinhalten
Außerdem, kenne ich den Determinantensatz und weiß, was Normalteiler sind.

27.12.2016, 13:11

Elvis

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Die Aussage ist nicht sinnvoll, denn eine Gruppe hat keinen Kern.

27.12.2016, 13:30

Sunny911

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Du hast natürlich recht. Sorry, falsch formuliert!
SLn soll der Kern der folgenden Abb. sein:
det: GLn(C) -> C* (Gruppenhomomorphismus)

Um ganz sicher zu gehen hier die original Aufgabenstellung:
Zeigen Sie: Die Menge SLn (C) ist ein Normalteiler in GLn (C)

Musterlösung:
für alle g Element SLn h Element GLn : hgh^-1 Element SLn
wissen: det ist Gruppenhomomorphismus
ker (det) = SLn
daraus folgt Beh.

27.12.2016, 14:36

Elvis

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Na also. Du weisst was GLn und SLn sind, Du weisst also, dass SLn der Kern des Homomorphismus det:GLn-->C ist. Also ist SLn ein Normalteiler von GLn. Wo ist das Problem ?

Statt C gilt das für jeden Körper K.

27.12.2016, 17:00

Sunny911

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Hallo Elvis,

das Problem liegt darin, dass ich eben nicht verstehe warum SLn der Kern des Homomorphismus det:GLn-->C ist.

LG

27.12.2016, 18:16

Elvis

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GLn ist isomorph zur Gruppe der invertierbaren Matrizen, also der Matrizen mit Determinante ungleich 0. SLn ist die Untergruppe der Matrizen mit Determinante 1. Die Abbildung det:GLn-->K bildet GLn auf K\{0} ab, nach dem Determinantenmultiplikationssatz det(AB)=det(A)det(B) ist das ein Homomrphismus, sein Kern sind die invertierbaren Matrizen, die von det auf 1 abgebildet werden . Das SIND die Matrizen mit Determinante 1. Nach dem Homomorphiesatz für Gruppen ist der Kern eines Gruppenhomomorphismus f:G-->H ein Normalteiler von G und die Faktorgruppe G/Kern ist isomorph zur Bildgruppe im(f)<H, die eine Untergruppe von H ist. Dass det ein Epimorphismus ist, ist in diesem Zusammenhang egal, aber es ist sicher jedes Körperelement a die Determinante der Diagonalmatrix (a,1,...,1).

27.12.2016, 18:39

Sunny911

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Zitat:

Original von Elvis
GLn ist isomorph zur Gruppe der invertierbaren Matrizen, also der Matrizen mit Determinante ungleich 0.

Ich dache das SIND die invertierteren Matrizen... aber egal

SLn ist die Untergruppe der Matrizen mit Determinante 1.

Die Abbildung det:GLn-->K bildet GLn auf K\{0} ab, nach dem Determinantenmultiplikationssatz det(AB)=det(A)det(B) ist das ein Homomrphismus, sein Kern sind die invertierbaren Matrizen, die von det auf 1 abgebildet werden .

Aaaaahhh ok! Und wieso ist der Ursprung der Abb. "det" die 1 ?

Das SIND die Matrizen mit Determinante 1.

Das ist dann klar.

Nach dem Homomorphiesatz für Gruppen ist der Kern eines Gruppenhomomorphismus f:G-->H ein Normalteiler von G und die Faktorgruppe G/Kern ist isomorph zur Bildgruppe im(f)<H, die eine Untergruppe von H ist. Dass det ein Epimorphismus ist, ist in diesem Zusammenhang egal, aber es ist sicher jedes Körperelement a die Determinante der Diagonalmatrix (a,1,...,1).

Dazu werden bestimmt noch Fragen von mir folgen, aber ich bin erst mal zufrieden, wenn ich das mit dem Kern endlich ordentlich verstanden habe...

Vielen Dank bis hier her schon mal!

27.12.2016, 19:46

Elvis

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Der "Ursprung der Abbildung" ist nicht die 1.
Der Kern eines Homomorphismus $\begin{eqnarray*} f:G\to H \end{eqnarray*}$ ist der Normalteiler $\begin{eqnarray*} N\le G \end{eqnarray*}$ , dessen Elemente auf das neutrale Element $\begin{eqnarray*} e\in H \end{eqnarray*}$ abgebildet werden, also $\begin{eqnarray*} N=ker(f)=f^{-1}(e)\le G \end{eqnarray*}$

Der Kern des Homomorphismus $\begin{eqnarray*} det: (GL_n(K), \cdot ) \to ( K\backslash \{0\},\cdot ) \end{eqnarray*}$ ist die Menge der invertierbaren Matrizen mit $\begin{eqnarray*} det(A)=1 \end{eqnarray*}$ weil $\begin{eqnarray*} 1 \in K\backslash \{0\} \end{eqnarray*}$ das neutrale Element der Multiplikation im Körper $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ ist, genauer in der multiplikativen Gruppe des Körpers.

28.12.2016, 10:43

Sunny911

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Vielen herzlichen Dank, Elvis!
Jetzt habe ich das endlich verstanden!
Freude

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