Stetige Zufallsvariable - Wahrscheinlichkeit

27.12.2016, 14:02

Statistik_NOOB

Stetige Zufallsvariable - Wahrscheinlichkeit

Meine Frage:
Hallo,

wir haben in der VL bisher nur Gleichverteilung, Expo.vert. und Normalverteilung besprochen. In einem Übungsblatt steht nun folgende Aufgabe und ich hab absolut keine Ahnung wie ich da rangehen soll.

Eine stetige Zufallsvariable X besitze folgende Verteilungsfunktion F:
(siehe Anhang)

a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit nimmt X einen Wert an, der größer als 1 ist?
b) Wie lautet das 75%-Quantil von X?
c) Wie lautet die Dichtefunktion von X?

Meine Ideen:
Danke

27.12.2016, 14:11

Statistik_NOOB

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b) würde ich evt. so lösen

$\begin{eqnarray*} \frac{x^{4} }{4} = 0,75 \end{eqnarray*}$
...
$\begin{eqnarray*} x=1,31 \end{eqnarray*}$

Es sei vl. zu erwähnen, dass ich Informatik im 7 Semester studiere und diese Statistik VL bei uns nur ein "Nebenfach" ist und meine letzt Mathe VL auch schon im 2. Semester war und ich daher doch etwas eingerostet bin, was das ganze angeht.

27.12.2016, 14:15

Statistik_NOOB

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Sry. Hab in meinem letzten Post falsch integriert es muss

$\begin{eqnarray*} \frac{x^{4} }{32} = 0,75 \end{eqnarray*}$
...
$\begin{eqnarray*} x=2,21 \end{eqnarray*}$

lauten, aber auch das ist denke ich falsch verwirrt

27.12.2016, 14:22

Dopap

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c.)
bestimme die Ableitung von $\begin{eqnarray*} F_X(x) \end{eqnarray*}$ das ist die Wahrscheinlichkeitsfunktion , auch Dichte $\begin{eqnarray*} f_X(x) \end{eqnarray*}$ genannt.

[attach]43422[/attach]

b.) $\begin{eqnarray*} F_X(x)= 0.75 \end{eqnarray*}$

27.12.2016, 14:36

Statistik_NOOB

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Danke und muss ich dann bei a) das Integral von 1 bis unendlich berechnen?

27.12.2016, 15:38

Dopap

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Null sonst.Das ist die Dichte. Mit welcher Wkt. ist $\begin{eqnarray*} f(x)>1 \end{eqnarray*}$ ?

27.12.2016, 16:14

Statistik_NOOB

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Also das Integral von 1 - 2?

Dichtefunktion:

$\begin{eqnarray*} \frac{3x^{2} }{8} \end{eqnarray*}$ für 0 <(gleich) x <(gleich) 2
0 sonst

$\begin{eqnarray*} \int_{1}^{2} \! \frac{3x^{2} }{8} \, dx = \left[\frac{x^{3} }{8} \right]_{1}^{2} =1 -\frac{1}{8}= \frac{7}{8}~87,5% \end{eqnarray*}$

Stimmt das?

27.12.2016, 16:34

Dopap

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einfach mal rumraten ?
für welches Intervall ist denn $\begin{eqnarray*} f(x) > 1 \end{eqnarray*}$ ? kann man doch beinahe ablesen.

27.12.2016, 16:48

Statistik_NOOB

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k.A. was ich hier konkret machen soll ?!.
Wenn ich es ablese würde ich sagen von ca. 0,4 - 1,5, aber was sagt das aus??

27.12.2016, 17:56

Dopap

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ich würde sagen von ca. 1.7 bis 2 ist f(x)>1. Kann man das nicht sehen?

rechte Grenze ist 2.
Und links ? wann gilt f(x)=1. Dazu solltest du $\begin{eqnarray*} \tfrac 38 x^3=1 \end{eqnarray*}$ nach x auflösen.
mit 7 Semestern Informatik müsste das möglich sein.

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EDIT
zwischenzeitliches 1.2 wieder zurückgenommen.

27.12.2016, 18:35

Statistik_NOOB

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Zitat:

Original von Dopap
Und links ? wann gilt f(x)=1. Dazu solltest du $\begin{eqnarray*} \tfrac 38 x^3=1 \end{eqnarray*}$ nach x auflösen.

müsste es nicht $\begin{eqnarray*} \tfrac 38 x^2=1 \end{eqnarray*}$ heissen?

27.12.2016, 18:49

Dopap

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sicher falsch , der Plot ist aber richtig.
Solch einen Tippfehler sollte man erkennen können.

27.12.2016, 18:49

Statistik_NOOB

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Zitat:

Original von Dopap
ich würde sagen von ca. 1.2 bis 2 ist f(x)>1. Kann man das nicht sehen?

hab die falsche Achse betrachtet Hammer

aber wieso 1,2 - f(x) hat doch erst bei über 1,5 einen Wert von größer 1 verwirrt

27.12.2016, 18:56

Statistik_NOOB

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Hätte dann als Untergrenze ca. 1,63 , obergrenze 2

$\begin{eqnarray*} \int_{1,63}^{2} \! \frac{3x^{2} }{8} \, dx = ca. 46% \end{eqnarray*}$

27.12.2016, 18:56

Dopap

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auch richtig, habe es korrigiert. ( Brille ). Aber das erste 1.7 war schon richtig.

Also: welcher Wert konkret ?

27.12.2016, 18:59

Dopap

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o.k. wenn es dir genügt.

Übrigens: das ist F(2)-F(1.63) ( Verteilungsfunktion ! )

27.12.2016, 19:06

Statistik_NOOB

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Zitat:

Original von Dopap
Also: welcher Wert konkret ?

Habe das Integral mit Untergrenze 1,63 ( $\begin{eqnarray*} \frac{3}{8} x^{2} = 1 \Rightarrow x =1,63 \end{eqnarray*}$ ) und Obergrenze 2 berechnet.

$\begin{eqnarray*} \int_{1,63}^{2} \! \frac{3x^{2} }{8} \, dx = \left[\frac{x^{3} }{8} \right]_{1,63}^{2} = 1-0,54 = 0,46 = 46% \end{eqnarray*}$

Falls das die Frage war verwirrt

27.12.2016, 19:15

Statistik_NOOB

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Zitat:

Original von Dopap

Übrigens: das ist F(2)-F(1.63) ( Verteilungsfunktion ! )

heisst das meine Rechnung ist falsch und ich müsste es so machen:

$\begin{eqnarray*} F(2)-F(1,63)=\left[\frac{x^{4} }{32} \right]_{1,63}^{2}=\frac{1}{2}-0,22=0,28=28% \end{eqnarray*}$

27.12.2016, 19:39

Dopap

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nein, F(x) ist schon die Stammfunktion von f(x). Das wollte ich damit klarmachen.

genauer $\begin{eqnarray*} F(x)=\int_{z=-\infty}^x\, f(z) \dd z \end{eqnarray*}$

27.12.2016, 19:48

Statistik_NOOB

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Ok, alles klar - danke für die Hilfe Wink

28.12.2016, 18:39

Ulrich Ruhnau

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RE: Stetige Zufallsvariable - Wahrscheinlichkeit
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit nimmt X einen Wert an, der größer als 1 ist?
Wahrscheinlich sind nur solche Ereignisse für die $\begin{eqnarray*} 0 < F(x) < 1 \end{eqnarray*}$ ist.
X wird keine Werte annehmen für die $\begin{eqnarray*} F(X) \end{eqnarray*}$ konstant 0 oder 1 ist.
Also gilt $\begin{eqnarray*} 0\leq x\leq 2 \end{eqnarray*}$ .

b) Wie lautet das 75%-Quantil von X?
Dieses Quantil findet man durch $\begin{eqnarray*} F(x)=0,75 \end{eqnarray*}$ .

c) Wie lautet die Dichtefunktion von X?
Die Wahrscheinlichkeitsdichte $\begin{eqnarray*} p(x) \end{eqnarray*}$ , nach der hier wohl gefragt ist berechnet man durch Ableiten der Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} F(x \end{eqnarray*}$ )
$\begin{eqnarray*} p(x)=\frac{d F(x)}{dx} \end{eqnarray*}$

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