Bild, Urbild, Abbildungen

28.12.2016, 00:11

Blerim

Bild, Urbild, Abbildungen

Meine Frage:
Hallo,

ich habe eine Verständnisfrage, wenn man vom Bild einer Abbildung spricht, dann kann doch f: A-B keine Abbildung sein, da man bei A= 1 2 3 4 5 und B= 2 4 6 nicht alle abgebildet werden können.

Meine Ideen:
das Prinzip ist klar, nur ist f: a- b, dann keine Abbildung.

28.12.2016, 00:17

Blerim

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Also, eine Abbildung muss doch bijektiv sein, oder?

28.12.2016, 00:40

Helferlein

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Wozu sollte man den Begriff einführen, wenn er überflüssig ist?
Eine Abbildung kann, muss aber nicht bijektiv sein.

28.12.2016, 00:54

Blerim

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Genau, dass verstehe ich auch nicht, der Begriff "Bild einer Abbildung" wird eingeführt, obwohl jede Abbildung bijektiv ist.

28.12.2016, 01:06

Guppi12

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Zitat:

obwohl jede Abbildung bijektiv ist.

Nein! Falsch! Das steht auch schon in Helferleins Beitrag, was genau hast du daran nicht verstanden?

28.12.2016, 01:19

Helferlein

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Nach deiner Auffassung gibt es also keine konstanten Abbildungen und $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ ist auf den reellen Zahlen auch keine Abbildung?

28.12.2016, 02:50

Blerim

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Ok, eine Abbildung ist nicht immer bijektiv, die Sache ist jetzt so, wir haben jetzt zwei Mengen A und B. Eine Abbildung ordnet jetzt jedem Element von A irgendein Element von B zu.

In der Definition steht, dass Jedem Element A genau EIN Element B zugeordnet wird.
Also, f(2)=3 f(3)=3, hier wird doch deutlich, dass nicht jedem Element von A einem Element von B zugeordnet wird. Richtig müsste doch sein, dass f(2)=3, f(3)=4.

Die Definition bedeutet doch eigentlich, dass auf jeden Fall jedem Element von A irgendeinem Element von B zugeordnet wird, dass Element von B kann mehrfach vorkommen.

Habe ich ich denn Sinn der Abbildung richtig verstanden?

Das bedeutet doch, dass das Bild einer Abbildung, alle Elemente bezeichnet, die eine Teilmenge von B ist, wie gesagt, aber wieso möchte man genau EIN Element von B, also so, wie ich es verstanden habe, alle unterschiedlich Elemente von B.

28.12.2016, 03:00

Guricccc

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Du missverstehst etwas.

Betrachten wir die Abbildung $\begin{eqnarray*} f:A\to B \end{eqnarray*}$ , dann muss jedem Element aus $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ein eindeutiger Wert zugeordnet werden.

Es kann also etwa nicht $\begin{eqnarray*} f(2)=3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(2)=4 \end{eqnarray*}$ sein.
Ein Element aus dem Urbild kann nicht "mehrfach belegt" sein, sondern muss eindeutig sein.
Welchem Element aus dem Bild dies zugeordnet wird, ist erstmal egal.

Es könnte aber schon $\begin{eqnarray*} f(1)=2, f(2)=2, f(3)=2, f(4)=2, f(5)=2 \end{eqnarray*}$ sein.
Dann wäre die Abbildung konstant und offensichtlich nicht bijektiv.
Sie wäre nicht mal mehr injektiv oder surjektiv.

28.12.2016, 03:13

Blerim

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Das hat schon sehr geholfen, danke, ich glaube, ich habe es sogar verstanden. Danke

28.12.2016, 03:19

Blerim

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Im Grunde ist es genau dasselbe, wie eine mathematische Funktion, haha, oder? smile