Pyramide Koordinaten Bestimme -Länge gegben.

29.12.2016, 10:47

SimonHofi

Pyramide Koordinaten Bestimme -Länge gegben.

Meine Frage:
Hey ich hab von einer Pyramide nUrlaub gegeben: sie ist quadratisch und jede kante hat die Länge a.
Die Punkte der grundfläche so rauszubekommen ist ja sehr einfach nur wie komme ich an den Punkt der Spitze bzw an die Richrungsvektoren die von den eckpunten der Pyramide zur Spitze führen?

Meine Ideen:
Vilkeicht irgendwie mit Satz des phytahoras oder so ?

29.12.2016, 12:23

Dopap

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RE: Pyramide Koordinaten Bestimme -Länge gegben.

Zitat:

Original von SimonHofi

Vilkeicht irgendwie mit Satz des phytahoras oder so ?

Vilkeicht fehlen einige Angaben. Aber phytahoras ist mir nicht bekannt.

29.12.2016, 12:51

Leopold

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RE: Pyramide Koordinaten Bestimme -Länge gegben.

Zitat:

Original von SimonHofi
nUrlaub

Bei deiner Pyramide scheint es sich um ein halbes Oktaeder zu handeln.

29.12.2016, 12:52

Simonhofi

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Nein es wird nix fehlen da es eine abi Aufgabe war. Die ursprünglichen frage war.
"Jede quadratische Pyramide bei der alle 8 kanten die Länge a haben Besitzt eine inkugel K.
Diese berührt die seitenflächen und die grundfläche .
Berechnen sie M und r.

29.12.2016, 19:26

Leopold

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Ohne die Angabe der Koordinaten der Eckpunkte ergibt es keinen Sinn, den Mittelpunkt der Inkugel berechnen zu wollen.

Was den Inkugelradius angeht, kann man die Aufgabe auf ein zweidimensionales Problem reduzieren. Betrachte die Ebene, die durch die Seitenmitten $\begin{align*} P,Q \end{align*}$ zweier sich gegenüber liegender Kanten des Grundquadrats und die Pyramidenspitze $\begin{align*} S \end{align*}$ bestimmt ist. Diese Ebene schneidet aus der Figur das gleichschenklige Dreieck $\begin{align*} PQS \end{align*}$ mit $\begin{align*} a \end{align*}$ als Basis und $\begin{align*} \frac{\sqrt{3}}{2} a \end{align*}$ als Schenkellänge aus. Aus der Inkugel wird dabei ein Kreis ausgeschnitten, der zugleich der Inkreis von $\begin{align*} PQS \end{align*}$ ist. Inkreisradius und Inkugelradius sind dasselbe.

Man kann die Aufgabe auch mit Mitteln der Analytischen Geometrie lösen. Dazu legt man die Pyramide so in ein Koordinatensystem, daß die Ecken $\begin{align*} A,B,C,D \end{align*}$ des Quadrats die Koordinaten

$\begin{align*} A = \left( - \frac{a}{2} , - \frac{a}{2} , 0 \right) \, , \ \ B = \left( \frac{a}{2} , - \frac{a}{2} , 0 \right) \, , \ \ C = \left( \frac{a}{2} , \frac{a}{2} , 0 \right) \, , \ \ D = \left( - \frac{a}{2} , \frac{a}{2} , 0 \right) \end{align*}$

bekommen. Für die Pyramidenspitze errechnet man

$\begin{align*} S = \left( 0 , 0 , \frac{\sqrt{2}}{2} a \right) \end{align*}$

Die dritte Koordinate kann man bestimmen, indem man verwendet, daß $\begin{align*} S \end{align*}$ von zum Beispiel $\begin{align*} A \end{align*}$ den Abstand $\begin{align*} a \end{align*}$ besitzt.

Offenbar gilt $\begin{align*} M = (0,0,r) \end{align*}$ . Andererseits hat $\begin{align*} M \end{align*}$ von zum Beispiel der Ebene $\begin{align*} ABS \end{align*}$ auch den Abstand $\begin{align*} r \end{align*}$ . Man erhält eine Gleichung, aus der sich $\begin{align*} r \end{align*}$ ermitteln läßt.

Ich würde hier die elementare Lösung vorziehen.

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