Wie berechnet man die Eigenbasis der gegebenen Matrix)

29.12.2016, 17:47

Ebrich

Wie berechnet man die Eigenbasis der gegebenen Matrix)

Meine Frage:
Wie berechnet man die Eigenbasis der Matrix A:= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -7 & -15 \\ 6 & 12 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

Meine Ideen:
Die Eigenwerte habe ich bereits berechnet: 2 und 3

Die dazugehörigen Eigenräume sind:
1)E(A,2)= $\begin{eqnarray*} {\displaystyle \mathbb {R} } \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
2) E(A,3)= $\begin{eqnarray*} {\displaystyle \mathbb {R} } \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

In der Vorlesung haben wir gelernt, so wie ich das verstanden habe, dass man nun eine Eigenbasis erhält, wenn man einfach zwei Eigenvektoren zu verschieden Eigenwerten als Basis verwendet.

Wenn das stimmt wäre die Eigenbasis der Matrix A: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aber irgendwie kann das nicht richtig sein, da ja alle Vektoren der Eigenbasis Eigenvektoren sein sollen, aber zum Beispiel der Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 8 \\ -5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , der eine Linearkombination der von mir oben vorgeschlagenen Basis ist, kein Eigenvektor von A ist. (habe ich nachgerechnet)
Kann mir vielleicht irgendjemand sagen, wo hier mein Denkfehler ist?
Vielen Dank im vorraus! :-)

29.12.2016, 18:05

10001000Nick1

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RE: Wie berechnet man die Eigenbasis der gegebenen Matrix)

Zitat:

Original von Ebrich
Aber irgendwie kann das nicht richtig sein, da ja alle Vektoren der Eigenbasis Eigenvektoren sein sollen,

Wieso kann das nicht richtig sein? Die Basiselemente sollen Eigenvektoren sein (und die Basis soll den ganzen Raum $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ aufspannen).
Es wird aber nicht verlangt, dass alle Linearkombinationen der Basiselemente, d.h. alle Vektoren im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ , auch Eigenvektoren sind. (Das wäre auch nur möglich, falls die Matrix nur einen einzigen Eigenwert mit geometrischer Vielfachheit 2 hat.)

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