Eine neue Formel für Binomialkoeffizienten?

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Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »
Eine neue Formel für Binomialkoeffizienten?
Beim Bearbeiten von Kombinatorikaufgaben hier bei Mathebord, habe ich eine mir unbekannte und für mich neue Formel entdeckt.



mit und .

Bewiesen habe ich diese Formel noch nicht, aber andererseits habe ich die Formel auch in keiner mir bekannten Formelsammlung gefunden.

Frage: Kann mir irgendjemand eine Formelsammlung nennen, wo diese Formel drin steht? Oder kann ich davon ausgehen, daß die Formel vielleicht neu ist? Und wenn ja, wie stelle ich so etwas fest?
005 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eine neue Formel für Binomialkoeffizienten?
Anders geschrieben lautet Deine Formel



(Ich habe gesetzt und die Symmetrie der Binomialkoeffizienten benutzt.)

Es stimmt zwar, aber fuer ein Paper wird's nicht reichen. Augenzwinkern
005 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eine neue Formel für Binomialkoeffizienten?
Die Formel steht z.B. bei Wikipedia:

en.wikipedia.org/wiki/Generating_function#Ordinary_generating_functions
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ulrich Ruhnau
Bewiesen habe ich diese Formel noch nicht

Man betrachte

für

und weise durch vollständige Induktion über nach: Anfang ist klar, und im Induktionsschritt nutze man

.

Alternativ geht es wohl auch ein Beweis über das Cauchy-Produkt.
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eine neue Formel für Binomialkoeffizienten?
Sehr dankbar bin ich für die Hinweise, die von 005 kommen. Jetzt bin ich in der Lage, meine Formel herzuleiten, die da lautet.



mit und .

Zugegeben, da kann man etwas ausklammern und die Formel umstellen.



oder besser gleich:



Sei nun . Damit wird die Formel zu:



Dies ist nichts anderes, als die k-fache Ableitung einer uns sehr bekannten Formel:

Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Im wesentlichen geht es hier um die Ableitung der geometrischen Reihe:



Jetzt -mal differenzieren ():



Und nach Division durch schließlich einsetzen:



und mit durchmultiplizieren:




EDIT
Da hatten wohl zwei dieselbe Idee.
 
 
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank an Leopold und 005 !
Jetzt bin ich nur noch auf auf eine Formelsammlung gespannt, wo meine Formel mehr oder weniger gut drin steht.

Im Wesentlichen drückt meine Formel aus, daß wenn man Binomialverteilungen nicht über von bis aufsummiert, sondern über von bis aufsummiert, das Ergebnis nicht 1, sondern ist. Statt



haben wir



Letztere Formel fand ihre Anwendung bei Schätzung der Anzahl der verkauften Lotterielose in Abhängigkeit der gezogenen Gewinne.
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