Störmer-Verlet - Geschwindigkeitsterm

02.01.2017, 16:09	balance	Auf diesen Beitrag antworten »
Störmer-Verlet - Geschwindigkeitsterm Hallo, edit: Ich sehe dass mein Beispiel nicht zur SV passt. Ich brauche ein einfaches Beispiel aus der Physik, hmm. Vorweg: Die Implementierung ist in Python - meine Fragen sind aber theoretischer Natur, daher kann man die Implementierung auch getrost ignorieren. ich bin gerade dabei, die ganze Theorie die wir haben mit eigenen Beispielen nochmal durchzugehen. [Sonst ist immer alles so vorgekaut] Aufjedenfall habe ich mit folgende DGL ausgedacht: $\begin{eqnarray} f''+2f'+f=0 \end{eqnarray}$ Also etwas, das ich einfach auch von Hand lösen kann, um alles schön zu überprüfen. Ich habe diese DGL gelöst mittels Explizitem und Implizitem Eulerverfahren sowie mit der Impliziten Mittelpunktsregel. Nun würde ich das gerne noch mit dem Störmer-Verlet [Leapfrog, 2step, velocity-verlet] lösen. Dabei kommt ein Geschwindigkeitsterm vor, mit dem ich ein wenig Probleme habe. Ich gebe erstmal etwas Theorie: Wir betrachten eine DGL der Form: $\begin{eqnarray} \ddot{\vec{y}}=\vec{f}(t, \vec{y}) \end{eqnarray}$ Für uniforme Zeitschrittweite h erhalten wir: $\begin{eqnarray} \vec{y}_{k+1}=-\vec{y}_{k-1}+2\vec{y}_k+h^2\vec{f}(t_k,\vec{y}_k), \quad k=1,..,N-1 \end{eqnarray}$ wobei nun doch gilt: $\begin{eqnarray} \vec{v}_k=\frac{\vec{y}_{k+1}-\vec{y}_{k-1}}{2h_k} \end{eqnarray}$ ------------ Nun, ich bin etwas verwirrt wie ich mein Problem hiermit lösen sollte. Störmer Verlet wird ja oftmals in physikalischen Probleme benutzt. Ich bin mir absolut unsicher, ob das mit meinem Problem überhaupt geht. Wie dem auch sei, ich habs probiert. Und es kam irgendwie nur Schwachsinn dabei raus. Als erstes merkte ich, dass meine DGL nicht die Form $\begin{eqnarray} \ddot{\vec{y}}=\vec{f}(t, \vec{y}) \end{eqnarray}$ hat, sondern eher $\begin{eqnarray} \ddot{\vec{y}}=\vec{f}(t, \vec{y},\dot{\vec{y}}) \end{eqnarray}$ Naja, da ich eine DGL 2. Ordnung habe, ist das erste was ich machte, es auf ein System 1. Ordnung zu reduzieren. Damit sollte ich doch die passende Form bekommen, da ich sozusagen die 1. ABleitung auch noch in die DGL "reinnehme" - oder täusche ich mich hier? [Etwas unsicher, da wenig Erfahrung] (Die Notation ist etwas doof, da es nicht das gleiche $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ wie in der Theorie ist) Sei $\begin{eqnarray} \vec{y}=\begin{bmatrix}f\\ f'\end{bmatrix} \end{eqnarray}$ dann ist $\begin{eqnarray} \dot{\vec{y}}=\begin{bmatrix}y_2\\-2y_2-y_1\end{bmatrix} \end{eqnarray}$ Damit kann ich eine Funktion implementieren, welche meine Rechte-Seite, also $\begin{eqnarray} \vec{f} \end{eqnarray}$ repräsentiert. [Keine Ahnung wie ich das sonst implementieren sollte] Die grosse Frage ist nun: Was bitte ist der Geschwindigkeitsterm in SV Verfahren? Was genau macht der? Was repräsentiert er? Wie finde ich einen geeineten Startwert? Wie implemenitere ich das ganze? Mein Versuch: https://hastebin.com/xinulabozi.py Anmerkung: Ich habe hier auch noch die Polygonzug verfahren drin, sind aber auskommentiert. Schadet ja nicht. Also: Frage 1: Kann ich für mein Problem überhaupt SV benutzen? Frage 2: Gibt es Probleme, für welche ich SV nicht nutzen kann? Frage 3: Was genau sagt mir der Geschwindigkeitsterm im Verfahren? Frage 4: Hängt der Geschwindigkeitsterm im Verfahren zusammen mit der 1. Ableitung in meiner DGL? Frage 5: Falls ich also SV anwenden kann: Wie finde ich einen Startwert für v? Anmerkung: Ich glaube ich kann mein Beispiel damit einfach nicht lösen, leider sehe ich nicht wieso. Was wohl damit zusammen hängt, dass ich SV nicht wirklich begriffen habe. [attach]43466[/attach]

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