Schätzer auf Erwartungstreue prüfen

03.01.2017, 22:53	cmplx96	Auf diesen Beitrag antworten »
Schätzer auf Erwartungstreue prüfen Hallo zusammen, gegeben sind drei Stichprobenfunktionen als Schätzer für den Erwartungswert einer Zufallsvariablen $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ . a) $\begin{eqnarray} T_{1}(X_{1},X_{2},\cdot \cdot \cdot ,X_{n}) = \frac{1}{n-1}\sum\limits_{i=1}^{n} X_{i} \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} T_{2}(X_{1},X_{2},\cdot \cdot \cdot ,X_{n}) = \frac{1}{2n}\sum\limits_{i=1}^{n} X_{i} = \frac{1}{2}\bar{X} \end{eqnarray}$ c) $\begin{eqnarray} T_{3}(X_{1},X_{2},\cdot \cdot \cdot ,X_{n}) = \frac{1}{4} \bar{X} \end{eqnarray}$ Es soll geprüft werden, welcher Schätzer erwartungstreu ist. Meine Ideen: Es muss gelten: $\begin{eqnarray} E(\hat{\theta}) = E(X) \end{eqnarray}$ a) $\begin{eqnarray} E(T_{1}) = E(\frac{1}{n-1}\sum\limits_{i=1}^{n} X_{i})=\frac{1}{n-1}\sum\limits_{i=1}^{n} E(X_{i}) = \frac{1}{n-1}\cdot n\cdot E(X) \neq E(X) \end{eqnarray}$ also nicht erwartungstreu. b) $\begin{eqnarray} E(T_{2}) = E(\frac{1}{2}\bar{X}) = \frac{1}{2}\cdot E(\bar{X}) \neq E(X) \end{eqnarray}$ nicht erwartungstreu. Ich habe gelesen, dass das arithmetische Mittel als Schätzer für den Erwartungswert in Ordnung ist, also wäre es richtig, wenn die $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ nicht da wären, richtig? c) $\begin{eqnarray} E(T_{3}) = E(\frac{1}{4}\bar{X})=\frac{1}{4}\cdot E(\bar{X}) \neq E(X) \end{eqnarray}$ nicht erwartungstreu. Ist das soweit richtig? Danke im Voraus!
04.01.2017, 07:01	wm2812	Auf diesen Beitrag antworten »
Jep. Wobei $\begin{eqnarray} \frac{n}{n-1} \end{eqnarray}$ geht gegen 1, deswegen kann man a) als asymp. etreu bezeichnen.
04.01.2017, 08:24	cmplx96	Auf diesen Beitrag antworten »
Super, danke!

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