Prüfen, ob lineare Abbildung?

04.01.2017, 07:22

LuciaSera2

Prüfen, ob lineare Abbildung?

Meine Frage:
Ich habe die Aufgabe zu prüfen, ob folgende Abbildungen linear sind:

(i) f: $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{2} -> \mathbb R; f(x,y) = x\cdot y \end{eqnarray*}$
(ii) f: $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{2} -> \mathbb R^{3}; f(x,y) = (x+1,2y,x+y) \end{eqnarray*}$
(iii) f: $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{2} -> \mathbb R^{2}; f(x,y) = (2x-y,x) \end{eqnarray*}$
(iv) f: $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{2} -> \mathbb R^{2}; f(x,y) = (x^{2},y^{2}) \end{eqnarray*}$
(v) f: $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{2} -> \mathbb R; f(x,y) = |x+y| \end{eqnarray*}$

Leider weiß ich nicht genau, wie das angehen soll...

Meine Ideen:
Ich weiß natürlich, dass ich prüfen muss, ob die Definition erfüllt ist.

Sprich ob f(x+y) = f(x)+f(y) ist und ob $\begin{eqnarray*} \lambda f(x)= f(\lambda*x) \end{eqnarray*}$ ist.

Genau hier kommt jetzt meine Frage:
Kann ich f(x,y) anschreiben als f(x)+f(y)?

Wenn ja, wie mache ich das dann?

Bei (i) z.B. f(x,y) = x*y -> f(x) + f(y) oder brauche ich ein zweites mit f(x1,y1) damit ich schreiben kann, f(x,y) + f(x1,y1)?

Ich denke, dass mir an sich nur der Ansatz fehlt..

04.01.2017, 07:32

Iorek

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RE: Prüfen ob Lineare Abbildung?

Zitat:

Original von LuciaSera2
oder brauche ich ein zweites mit f(x1,y1) damit ich schreiben kann, f(x,y) + f(x1,y1)?

Das brauchst du. Ich würde üblicherweise auf $\begin{align*} f(x_1,y_1)+f(x_2,y_2) \end{align*}$ zurückgreifen, dann sieht es etwas ordentlicher aus. Damit hast du doch schon einen Ansatz. smile

04.01.2017, 09:04

LuciaSera

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Okay.. und weiter prüfe ich nun, ob z.B. f(x1,y1) + f(x2,y2) = f((x1,y1)+(x2,y2)) ist.

Ich habe das für (i) so angeschrieben:

f(x1,y1) + f(x2,y2) = (x1*y1)+(x2*y2) = x1y1+x2y2
f((x1,y1)+(x2,y2)) = f(x1+x2,y1+y2) = ?

Hier weiß ich gerade nicht, wie ich das anschreiben soll.

Ich habe als Ergebnis zurzeit einfach den Klammerausdruck sprich x1+x2,y1+y2 ohne dem f vorne, das würde dann bedeuten, dass es nicht linear ist. Allerdings wäre das Ergebnis dann im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{2} \end{eqnarray*}$ und nicht mehr in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ...

Oder stimmt das und es ist daher eben nicht linear?

04.01.2017, 09:31

Iorek

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Drücken wir die Funktionsvorschrift einmal in Worten aus: der Funktionswert $\begin{align*} f(x,y) \end{align*}$ ist das Produkt von $\begin{align*} x \end{align*}$ und $\begin{align*} y \end{align*}$ , oder etwas informeller das "Produkt des ersten und zweiten Eintrags". Ob der erste Eintrag jetzt $\begin{align*} x \end{align*}$ oder $\begin{align*} x_1+x_2 \end{align*}$ ist, spielt keine Rolle.

04.01.2017, 09:36

LuciaSera

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Also habe ich dann:

$\begin{eqnarray*} (x_{1}+x_{2})*(y_{1}+y_{2}) = x_{1}y_{1}+x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}+x_{2}y_{2} \end{eqnarray*}$ ?

Wenn das so nun stimmt, dann ist diese Abbildung nicht linear.

Du bist hier mit zwei Accounts angemeldet. Der User LuciaSera2 wird daher demnächst wieder gelöscht.
Viele Grüße
Steffen

04.01.2017, 09:57

klarsoweit

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Zitat:

Original von LuciaSera
$\begin{eqnarray*} (x_{1}+x_{2})*(y_{1}+y_{2}) = x_{1}y_{1}+x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}+x_{2}y_{2} \end{eqnarray*}$ ?

Wenn das so nun stimmt, dann ist diese Abbildung nicht linear.

Im Prinzip stimmt die Gleichung, aber als Begründung reicht das in meinen Augen noch nicht (zumindest mußt du mal die überall verteilten Bruchstücke einsammeln und ordentlich zusammenstöpseln).

Ohnehin würde ich bei der Begründung der Nicht-Linearität auf ein simples Gegenbeispiel zurückgreifen.

04.01.2017, 11:26

LuciaSera

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Natürlich, wenn es falsch ist, kann ich einfach ein Gegenbeispiel anführen. Ich habe die Aufgabe jedoch so verstanden, dass ich es allgemein mit x und y lösen sollte und ohne konkrete Werte zeigen, ob es linear oder nicht linear ist.

Naja also ich kann beim Ergebnis noch x1 und x2 pder y1 und y2 herausheben, aber ansonsten kann ich ja nicht mehr viel machen oder?

Die Lösungen meiner restlichen Aufgabe schauen zurzeit so aus:

$\begin{eqnarray*} (ii) f:\mathbb R^{2} -> \mathbb R^{3};f(x,y) &= (x+1,2y,x+y) f(x_{1},y_{1})+f(x_{2},y_{2}) &= (x_{1}+1,2y_{1},x_{1}+y_{1})+(x_{2}+1,2y_{2},x_{2}+y_{2}) = x_{1}+x_{2}+2,2(y_{1}+y_{2}),x_{1}+x_{2}+y_{1}+y_{2} f((x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})) &= f(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2}) = x_{1}+x_{2}+2,2(y_{1}+y_{2}),x_{1}+x_{2}+y_{1}+y_{2} \end{eqnarray*}$

-> nicht linear

$\begin{eqnarray*} (iii) f:\mathbb R^{2} -> \mathbb R^{2};f(x,y) &= (2x-y,x) f(x_{1},y_{1})+f(x_{2},y_{2}) &= (2x_{1}-y_{1},x_{1})+(2x_{2}-y_{2},x_{2}) = 2(x_{1}+x_{2})-y_{1}-y_{2},x_{1}+x_{2} f((x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})) &= f(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2}) = 2(x_{1}+x_{2})-y_{1}-y_{2},x_{1}+x_{2} \lambda f(x_{1},y_{1}) &= \lambda*(2x_{1}-y,x_{1}) = \lambda*2x_{1}- \lambda*y_{1},\lambda *x_{1} f(\lambda*x_{1},\lambda*y_{1}) &= \lambda*2x_{1}-\lambda*y_{1},\lambda*x_{1} \end{eqnarray*}$

-> linear

$\begin{eqnarray*} (iv) f:\mathbb R^{2} -> \mathbb R^{2};f(x,y) &= (x^{2},y^{2}) f(x_{1},y_{1})+f(x_{2},y_{2}) &= (x_{1}^{2},y_{1}^{2})+(x_{2}^{2},y_{2}^{2}) = x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+y_{1}^{2}+y_{2}^{2} f((x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})) &= f(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2}) = x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2},y_{1}^{2}+2y_{1}y_{2}+y_{2}^{2} \end{eqnarray*}$

-> nicht linear

$\begin{eqnarray*} (v) f:\mathbb R^{2} -> \mathbb R;f(x,y) &= |x+y| f(x_{1},y_{1})+f(x_{2},y_{2}) &= |x_{1}+y_{1}|+|x_{2}+y_{2}| \neq |x_{1}+y_{1}+x_{2}+y_{2}| f((x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})) &= f(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2}) = |x_{1}+y_{1}+x_{2}+y_{2}| \end{eqnarray*}$

-> nicht linear

Stimmt das nun so?

04.01.2017, 11:43

klarsoweit

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Zitat:

Original von LuciaSera
Ich habe die Aufgabe jedoch so verstanden, dass ich es allgemein mit x und y lösen sollte und ohne konkrete Werte zeigen, ob es linear oder nicht linear ist.

Das steht da nirgends. Bei der Linearität mußt du natürlich zeihen, daß bestimmte Gleichungen allgemein gelten. Bei der Nicht-Linearität reicht ein Gegenbeispiel. Daher kannst du dir da die ganze Rechnung sparen. Rein formal ist es für mich auch zu kurz gegriffen, wenn da nach einer größeren Termumformung lediglich "-> nicht linear" steht. Da fehlt mir eine für den Leser nachvollziehbare Begründung.

04.01.2017, 11:49

LuciaSera

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Naja aus der Definition für eine lineare Abbildung wissen wir ja, dass wenn $\begin{eqnarray*} f(x+y) = f(x)+f(y) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(\lambda*x) = \lambda*f(x) \end{eqnarray*}$ gilt, die Abbildung linear ist.

Wenn ich nun zeige, dass bereits ersteres nicht gilt, weiß ich dadurch ja, dass diese Abbildung nicht linear ist, da ja beides zutreffen muss.

Was soll ich da noch mehr begründen, bzw. schreiben?

04.01.2017, 11:52

Iorek

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Aber weißt du das denn? Bloß weil etwas unterschiedlich aufgeschrieben ist, kann es immer noch das gleiche beschreiben. So ist z.B. $\begin{align*} \ln(e^x)=x \end{align*}$ , obwohl die linke und rechte Seite komplett unterschiedlich aussehen.

Und noch eine Anmerkung: was sollen die ganzen Kommata z.B. bei $\begin{align*} x_1+x_2+2,2(y_1+y_2),x_1+x_2+y_1+y_2 \end{align*}$ ? Das ist Unsinn.

04.01.2017, 11:56

LuciaSera

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Diese Kommata sind in der Angabe auch so angeführt. Ich kann es auch ohne Kommata und dafür als Vektor schreiben, allerdings habe ich mich hier an die Angabe gehalten.

Deine erste Aussage kann ich nicht ganz nachvollziehen. Bei deinem Beispiel ist ln die Umkehrfunktion zu e, weshalb es ja x ergibt.

Bei meinen Beispielen kommt aber für $\begin{eqnarray*} f(x+y) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x)+f(y) \end{eqnarray*}$ zwei unterschiedliche Ergebnisse raus. Daraus kann man doch erkennen, dass es nicht linear ist.

04.01.2017, 12:15

Iorek

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Ah, es fehlen also die Klammern um das als Tupel/Vektor zu identifizieren. Diese sollten natürlich dabei sein, einfach nur Kommata setzen bringt nichts.

Du weißt, dass es die Umkehrfunktion ist, zunächst mal stehen da aber ganz unterschiedliche Ausdrücke. Ich kann auch gerne andere Beispiele konstruieren, wo es nicht mehr nur Umkehrfunktionen sind:
$\begin{align*} \tanh(x+y)-1=\frac{\tanh(x)+\tanh(y)}{1+\tanh(x)\tanh(y)}-\cosh^2(x)+\sinh^2(x) \end{align*}$
Die linke und rechte Seite der Gleichung sehen unterschiedlich aus, trotzdem ist die Gleichung für alle $\begin{align*} x,y\in\mathbb R \end{align*}$ erfüllt. Bloß weil es anders aussieht, kann man also noch keine Aussage über die Gleichheit treffen.

Du könntest das nun ganz allgemein mit den Variablen weiter durchrechnen und versuchen aus $\begin{align*} f(x+y)=f(x)+f(y) \end{align*}$ einen Widerspruch zu erzeugen, dann wäre das in Ordnung. Einfacher ist es aber, sich ein Gegenbeispiel einfallen zu lassen.

04.01.2017, 12:22

LuciaSera

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Achso, so ist das gemeint..

Okay, in der Hinsicht ist es natürlich wesentlich einfacher sich einfach ein Gegenbeispiel zu überlegen. Doch was mache ich dann bei Nummer (iii)?

Das muss ich ja dann noch genauer beweisen oder?

04.01.2017, 12:27

Iorek

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Ja, die Funktion in (iii) ist linear, also wird man es da nachweisen müssen. Prinzipiell bist du da auch auf dem richtigen Weg, es sind nur noch ein paar Kleinigkeiten (fehlende Klammern, evtl. einen Zwischenschritt mehr) wo man was ändern sollte.

04.01.2017, 12:34

LuciaSera

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Okay super! Jetzt blick ich da besser durch.

Danke euch smile

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