Zeigen, dass 5 die einzige Primzahl ist,...

04.01.2017, 12:12

Simeon16

Zeigen, dass 5 die einzige Primzahl ist,...

Meine Frage:
Hallo Zusammen
Ich habe eine alte Prüfungsaufgabe, bei der ich nicht weiterkomme:

Zeigen Sie, das 5 die einzige Primzahl ist, die sowohl als Summe als auch als Differenz zweier Primzahlen geschrieben werden kann.

Meine Ideen:
Für 5 stimmt dies: 2+3 = 5 und 7-2 = 5, aber wie zeige ich, dass diese Aussage allgemein gültig ist? Irgendwelche Ideen?

04.01.2017, 12:30

ollie3

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RE: Zeigen Sie, dass 5 die einige Primzahl ist,...
Hallo,
denke daran, dass 2 die einzige gerade Primzahl ist und das die Differenz von 2 ungeraden
Zahlen immer gerade sein muss... Augenzwinkern

gruss ollie3

04.01.2017, 12:32

Clearly_wrong

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Ich würde zuerst zeigen, dass, wenn eine Primzahl $\begin{align*} p\neq 2 \end{align*}$ sich als Summe oder Differenz zweier Primzahlen schreiben lässt, mindestens einer der Summanden bzw. der Subtrahend die $\begin{align*} 2 \end{align*}$ sein muss. Eine Primzahl $\begin{align*} p \end{align*}$ , die sich sowohl als Summe, als auch Differenz anderer Primzahlen schreiben lässt, hat also die Darstellungen

$\begin{align*} p = a+2 \end{align*}$
$\begin{align*} p = b-2 \end{align*}$ .

Schau, ob du damit weiterkommst.

04.01.2017, 15:14

Simeon16

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Danke für die schnelle Antwort, der allgemeine Fall habe ich nun verstanden. Nun zum Spezialfall denn @Clearly_wrong darstellt. Hierbei geht es ja um den Fall das die 2 die einzige gerade Zahl ist, bekanntlich sind Primzahlen jedoch ungerade Zahlen, sie lassen sich deswegen so schreiben: $\begin{eqnarray*} (2k-1) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb N \end{eqnarray*}$
ungerade Zahl $\begin{eqnarray*} \pm \end{eqnarray*}$ gerade Zahl = ungerade Zahl, also könnte das erstmal stimmen:
$\begin{eqnarray*} (2k-1)=(2i-1)+2; k,i \in \mathbb N \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (2k-1)=(2j-1)-2; j \in \mathbb N \end{eqnarray*}$
Aber wie zeige ich, dass dies nur für p=5 gilt?

04.01.2017, 20:49

HAL 9000

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Von den drei Zahlen (in der Terminologie von Clearly_wrong) $\begin{align*} p-2,p,p+2 \end{align*}$ ist genau eine durch 3 teilbar - warum? Und was bedeutet das angesichts der Tatsache, dass diese Zahl auch Primzahl sein muss?

05.01.2017, 10:30

Simeon16

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Vielen Dank für den Tipp.
$\begin{eqnarray*} p-2,p,p+2 \end{eqnarray*}$ sind wie 3 aufeinander folgende Zahlen ( $\begin{eqnarray*} p=(2k-1) k \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ dann können die drei Zahlen wie folgt geschrieben werden: $\begin{eqnarray*} 2k-3, 2k-1, 2k+1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 2k-3 \end{eqnarray*}$ ist quasi dasselbe wie 2k, da 3 sicher durch 3 teilbar ist. Daher können die drei Zahlen wie als aufeinander folgend angeschaut werden) und daher muss eine dieser Zahlen durch 3 teilbar sein. Was ein Widerspruch zur Annahme ist, dass alle Zahlen $\begin{eqnarray*} a,b,p \end{eqnarray*}$ Primzahlen sind. Somit ist die Behauptung widerlegt und die Aussage gilt nur für $\begin{eqnarray*} p=5 \end{eqnarray*}$ .
Stimmt das so?

05.01.2017, 11:51

HAL 9000

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Zitat:

Original von Simeon16
Was ein Widerspruch zur Annahme ist, dass alle Zahlen $\begin{eqnarray*} a,b,p \end{eqnarray*}$ Primzahlen sind.

Vorsicht: Es ist nur dann ein Widerspruch, wenn diese durch 3 teilbare Zahl größer als 3 ist. Es gibt natürlich auch noch den Fall, dass diese Zahl genau 3 ist - und das führt ja dann zu eben jenem Tripel $\begin{align*} ({\color{red}3},5,7) \end{align*}$ . Augenzwinkern

05.01.2017, 12:27

Simeon16

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Stimmt, danke für den Hinweis.

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