Landau-Symbol

04.01.2017, 12:15

Benni14768

Landau-Symbol

Meine Frage:
Welche der folgenden Aussagen sind wahr:
1) $\begin{eqnarray*} \sqrt{1+x^{2} } = o(x) \end{eqnarray*}$ für x->0
2) $\begin{eqnarray*} \sqrt{1+x^{2}} = 1+x^{2} + O(x) ) \end{eqnarray*}$ für x->0
3) $\begin{eqnarray*} \sqrt{1+x^{2}} = O(x^{2}) \end{eqnarray*}$ für x->0

Meine Ideen:
Also bei der Ersten würde ich einfach die Definition überprüfen, also ich schaue ob $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x^{2}}}{x}=0 \end{eqnarray*}$ . Aber leider verstehe och noch nocht was es mit dem großen O auf sich hat.

Das kleine o(f(x)) heist ja auf gut deutsch: ein Rest der schneller gegen 0 geht als f(x). Aber die Definition von dem großen O verstehe ich nicht ganz.... :-(

04.01.2017, 12:44

Clearly_wrong

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Das große O sagt, dass der Ausdruck, den man auch beim kleinen o betrachtet, beschränkt sein soll, er muss also nicht gegen $\begin{align*} 0 \end{align*}$ konvergieren.

04.01.2017, 12:46

HAL 9000

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RE: Landau-Symbol

Zitat:

Original von Benni14768
Aber die Definition von dem großen O verstehe ich nicht ganz.... :-(

Was genau ist daran unverständlich? Hier fordert man eben nicht "Grenzwert = 0", sondern lediglich Beschränktheit des besagten Quotienten.

Zitat:

Original von Benni14768
2) $\begin{eqnarray*} \sqrt{1+x^{2}} = 1+x^{2} + O(x) ) \end{eqnarray*}$ für x->0

Angesichts von $\begin{align*} x^2\in O(x) \end{align*}$ für $\begin{align*} x\to 0 \end{align*}$ kann man die Schreibweise rechts als puren Verwirrungsversuch einordnen, jedenfalls ist Behauptung 2) dann gleichbedeutend mit

2') $\begin{align*} \sqrt{1+x^2} = 1+O(x) \end{align*}$ für $\begin{align*} x\to 0 \end{align*}$ . smile

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