Negative Zufallsvariable

04.01.2017, 14:41	tobi1994	Auf diesen Beitrag antworten »
Negative Zufallsvariable Hey, ich sitze grade an einer Stochastik 1 Übung und stehe ziemlich auf dem Schlauch. Gegeben sind zwei unabhängige Zufallsvariablen X und Y, die mit dem gleichen Parameter a>0 exponentialverteilt sind. Ich soll nun die Dichte der Verteilung von -Y berechnen. Die Dichte von Y ist ja gegeben mit f(x)=aexp(-ax) für x>=0. Ich verstehe jetzt aber nicht so wirklich, was es bedeutet, wenn eine Zufallsvariable negativ ist(also -Y). Kann mir da jemand auf die Sprünge helfen?
04.01.2017, 14:52	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann den Transformationssatz bemühen. Oder sich das notwendige rasch selbst herleiten, und zwar über die Verteilungsfunktion: Sei $\begin{align} Z=-Y \end{align}$ die neue Zufallsvariable mit der zu bestimmenden Dichte $\begin{align} f_Z \end{align}$ , dann gilt für deren Verteilungsfunktion $\begin{align} F_Z(t) = P(Z\leq t) = P(-Y\leq t) = P(Y\geq -t) = 1-P(Y<-t) \stackrel{!}{=} 1-F_Y(-t) \end{align}$ . Die Dichte entspricht (fast überall) der Ableitung der Verteilungsfunktion, wir haben dann also $\begin{align} f_Z(t) = F_Z'(t) = -(F_Y(-t))' = -F_Y'(-t)\cdot (-1) = f_Y(-t) \end{align}$ , wobei die (-1) von der Kettenregel stammt (innere Ableitung von $\begin{align} -t \end{align}$ ). Dieses somit ermittelte $\begin{align} f_{-Y}(t) = f_Y(-t) \end{align}$ gilt für alle absolutstetigen Zufallsgrößen $\begin{align} Y \end{align}$ , also auch dein exponentialverteiltes $\begin{align} Y \end{align}$ , sowie auch alle reellen Argumente $\begin{align} t \end{align}$ .
04.01.2017, 14:57	tobi1994	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die schnelle Hilfe, auf die Idee der Herleitung über die Verteilungsfunktion bin ich nicht gekommen

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