[Erledigt] Frage zur Normalverteilung

04.01.2017, 15:34

MatheKind

[Erledigt] Frage zur Normalverteilung

Hallo,
ich beschäftige mich gerade etwas mit Schätzungen von Parametern von Zufallszahlen und Konfidenzintervalle und arbeite mich durch ein Buch durch.

Ein Satz lautet:

Ist $\begin{eqnarray*} X \sim N(\mu, \sigma^2) \end{eqnarray*}$ , so ist

$\begin{eqnarray*} Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \end{eqnarray*}$

In einem anderen Zusammenhang, wo es um den Konfidenzintervall geht und man die Parameter der Zufallsvariablen $\begin{eqnarray*} X_1,...,X_n \end{eqnarray*}$ schätzen möchte, wird irgendwann in einer Rechnung $\begin{eqnarray*} \sqrt{n} \frac{\overline{X} - \mu}{\sigma} \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ . Wo kommt die Wurzel plötzlich her? Z ist weiter oben ohne die Wurzel definiert.

Falls ihr den Gesamtkontext braucht, kann ich den auf Nachfrage auch aufschreiben.

Danke im Voraus!
MatheKind

04.01.2017, 15:48

HAL 9000

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Hast du das Ende des Satzes vergessen? Sinn macht allenfalls folgendes:

Zitat:

Original von MatheKind
Ist $\begin{eqnarray*} X \sim N(\mu, \sigma^2) \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \end{eqnarray*}$ ...

... standardnormalverteilt, d.h., $\begin{eqnarray*} Z \sim \mathcal{N}(0,1) \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von MatheKind
In einem anderen Zusammenhang, wo es um den Konfidenzintervall geht und man die Parameter der Zufallsvariablen $\begin{eqnarray*} X_1,...,X_n \end{eqnarray*}$ schätzen möchte, wird irgendwann in einer Rechnung $\begin{eqnarray*} \sqrt{n} \frac{\overline{X} - \mu}{\sigma} \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ . Wo kommt die Wurzel plötzlich her?

Sind $\begin{align*} X_1,\ldots,X_n\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^2) \end{align*}$ sowie unabhängig, so ergibt sich für den Mittelwert $\begin{align*} \bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n X_k \end{align*}$ die Verteilung $\begin{align*} \bar{X}\sim\mathcal{N}\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right) \end{align*}$ . Warum das gilt, hängt zum einen an diversen Rechenregeln mit Erwartungswerten und Varianzen zum anderen an speziellen Eigenschaften der Normalverteilung - näher will ich das hier nicht diskutieren.

Das kann man auch schreiben als $\begin{align*} \bar{X}\sim\mathcal{N}\left(\mu,\sigma'^2\right) \end{align*}$ wenn man $\begin{align*} \sigma':=\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \end{align*}$ definiert. Und bezogen auf jenes $\begin{align*} \bar{X} \end{align*}$ führen wir dann eben wieder jene Z-Standardisierung durch, die hier dann aber mit $\begin{align*} \sigma' \end{align*}$ durchzuführen ist, d.h., $\begin{align*} Z = \frac{\bar{X}-\mu}{\sigma'} \end{align*}$ ist standardnormalverteilt.

Und setzen wir in diese Formel $\begin{align*} \sigma'=\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \end{align*}$ ein, wird daraus $\begin{align*} Z = \sqrt{n}\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma} \end{align*}$ . Alles klar?

04.01.2017, 15:54

MatheKind

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Ja, tut mir leid, das hatte ich vergessen. Mir ist immer noch nicht klar, wo $\begin{eqnarray*} \sqrt{n} \end{eqnarray*}$ herkommt.

04.01.2017, 15:56

MatheKind

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Ich habe mal die Rechnung angehängt. Das Abtippen ist leider sehr mühsam.

04.01.2017, 15:56

HAL 9000

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Siehe Edit.

04.01.2017, 16:29

MatheKind

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Danke sehr! Das stand im Skript nicht wirklich drin oder ich habe es übersehen. Habe das aber in einem Stochastikbuch ebenfalls tatsächlich so gefunden. Danke, ich habe wirklich lange gegrübelt und mir das Skript immer wieder neu angeschaut!
Schönen Abend noch! smile

L. G.,
MatheKind

05.01.2017, 22:17

MatheKind

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Ähm, ich bin jetzt wieder verwirrt, weil dieses mal bei diesem Beispiel die Wurzel im Nenner ist.

Hat wer eine Erklärung dafür?

L. G.,
MatheKind

EDIT: Ok, das ist der zentrale Grenzwertsatz. smile

06.01.2017, 07:47

HAL 9000

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Herrje, mal einen Schritt selbständig denken...

Es ist $\begin{align*} \sum_{i=1}^n (X_i-\mu_0) = \left( \sum_{i=1}^n X_i \right) - n\mu_0 = n\bar{X}-n\mu_0 = n(\bar{X}-\mu_0) \end{align*}$ , und damit

$\begin{align*} \frac{1}{\sigma \sqrt{n}} \sum_{i=1}^n (X_i-\mu_0) = \frac{1}{\sigma \sqrt{n}}\cdot n(\bar{X}-\mu_0) = \sqrt{n}\cdot \frac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma} \end{align*}$ .

06.01.2017, 16:54

MatheKind

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Danke, für die Herleitung. Sei bitte nicht böse, wenn ich so etwas nicht herleiten kann. Ich kann das alles nachvollziehen was du schreibst, aber ich habe als Informatiker (FH) kaum Übung darin. Ich hätte gerne mehr Mathematik im Studium gehabt, das hätte für mich vieles leichter gemacht, weil ich sie für meine Spezialisierung brauche, aber den Lehrplan habe nicht ich zusammengestellt und ich habe mich schon öfters bei Profs beschwert, dass man Mathe nicht kürzen kann, den Stoff aber im höheren Semester dann doch voraussetzt.
Um so mehr danke ich dir für deine Hilfe, denn ich sitze an einer Vorlesungseinheit für Stochastik 1-2 Tage dran! smile

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