Residuensatz Anwendung

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YoungsterPhysician Auf diesen Beitrag antworten »
Residuensatz Anwendung
Hallo,

ich sitze vor folgendem Problem aus der Aufgabenstellung meines Mathedozenten.

Ich soll mithilfe des Residuensatzes den Wert

Soweit so gut, ich hätte dies jetzt folgendermaßen gelöst:



Dann Residuum in Polstelle i berechnet:

Und dann über den Residuensatz auf die End Lösung:

Jetzt will er mir allerdings eine Anleitung an die Hand geben und ich komme bei der ersten Teilaufgabe schon nicht mehr weiter...

Ich soll nun erstmal zeigen dass existiert und dies über eine geeignete Abschätzung...

Ich muss allerdings dazu sagen, dass ich mir den Inhalt der Vorlesung über die Bibliothek erarbeitet habe und meine Lösung vielleicht nicht ganz auf der Höhe der Vorlesung ist... Ich erarbeite mir erst jetzt das Skript und auch meine Kenntnisse des Residuensatz, Laurentreihen etc. sind noch nicht 100% ausgereift, wäre lieb, wenn ihr mir helfen könntet.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Residuensatz Anwendung
Zitat:
Original von YoungsterPhysician
Ich soll nun erstmal zeigen dass existiert und dies über eine geeignete Abschätzung...

Ich muss allerdings dazu sagen, dass ich mir den Inhalt der Vorlesung über die Bibliothek erarbeitet habe und meine Lösung vielleicht nicht ganz auf der Höhe der Vorlesung ist...


Das hat aber nichts mit Funktionentheorie und dem Residuensatz sondern eher mit Analysis II und grundlegendem Wissen über (reelle) Integrale zu tun. Dass der Wert dieses uneigentlichen Integrals endlich ist, lässt sich nämlich mit einer einfachen Abschätzung nachweisen.
YoungsterPhysician Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, da meine Funktion ein Polynom vom Grad -4 kann ich sie abschätzen

Also:
sei

Dann:

Dann muss ich noch zeigen, dass die beiden Grenzwerte existieren, mache es aber nur für

Der andere Grenzwert ist analog.

Dann definiere ich also f+>0 f-<0
Dann zeige ich nur noch die Existenz von
f- ist analog und es gilt:

f+ ist nun monoton wachsend und nach oben beschränkt also folgt die Abschätzung:


Ist das in Ordnung soweit?
Nun soll ich das auch für den sinus machen, aber das funktioniert doch genau analog?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Du machst es dir viel zu kompliziert. Augenzwinkern

Es gilt:

und das letzte Integral kann man explizit berechnen.
YoungsterPhysician Auf diesen Beitrag antworten »

Okay da hatte ich wohl etwas vollkommen falsches im Kopf ^^

Genau das letzte integral ist doch der arctan(x), wenn ich das richtig im Kopf habe smile

Und diese Abschätzung kann ich machen, weil ?

Aber auch hier gilt dann für den sinus komplett analog
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, für den Sinus kann man das analog durchführen.
 
 
YoungsterPhysician Auf diesen Beitrag antworten »

Okay als nächstes habe ich zwei Integrationswege gegeben und soll zeigen, dass deren Produmt auch ein Integrationsweg ist...
Das sollte kein Problem sein.
Dann soll ich über diesen integrieren, da komme ich vllt nochmal auf das Thema zurücksmile
Vielen Dank erstmal
YoungsterPhysician Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo ein Problem habe ich dennoch:

Ich soll zeigen:

Mit der Abschätzung von oben über das
Komme ich aber nicht auf das gleich 0, sondern wegen komme ich dann für r gegen Unendlich auf




Also darauf, dass das uneigentliche Integral kleienr pi sein muss. Das hilft mir für dessen Existenz, aber nicht dafür dass es gleich 0 sein soll.

Was übersehe ich hier?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn das so in der Aufgabe steht, würde ich dir empfehlen das Integral näher zu betrachten, das lässt sich nämlich explizit berechnen. (Tipp: ).
YoungsterPhysician Auf diesen Beitrag antworten »

Ich komme leider hier nicht weiter ^^

Ich meine ich könnte argumentieren, dass gegen
läuft für limr --> unendlich; und sin(x) oszilliert zwischen -1 und 1, dabei heben sich die negativen und positiven Anteile der Funktion weg... Aber reicht das ?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

In



ist der Zähler ungerade, der Nenner gerade. Insgesamt ist also ungerade: für alle .
Weißt du, wie die Graphen ungerader Funktionen aussehen? Und was heißt das für das Integral?

Übrigens ist



Du darfst das äußere Quadrat nicht einfach ignorieren.
YoungsterPhysician Auf diesen Beitrag antworten »

Oh stimmt vielen Dank. Das äußere Quadrat habe ich vergessen...

Ja also ich kann mir vorstellen, was du meinst. Wenn ich das Integral aufteile, in eins von -unendlich bis 0 und in eines von 0 bis unendlich, müssten diese sich gegenseitig aufheben
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Dieses "müsste" ist so eine Sache in der Mathematik. Ein "müsste" ist in der Regel nichts wert. Ihr solltet aber in der Analysis eine Aussage zu Integralen und geraden/ungeraden Funktionen gehabt haben, wenn diese über ein Intervall integriert werden. Und ist eine ungerade (riemann-integrierbare) Funktion, dann ist für alle . Von daher ist dein "müsste" in diesem Fall richtig, darauf solltest du dich in Zukunft aber nicht immer verlassen sondern nach einer handfesten Begründung suchen.
YoungsterPhysician Auf diesen Beitrag antworten »

Super vielen Dank,

ja mir ist klar, dies war ja auch nur eine Vermutung meinerseits. Das ersetzt keine handfeste Argumentation.

Gut, dann werde ich mal einige Skripte durchforsten, ich bin mir sicher, diese Aussage zu finden.

Vielen Dank für die ganze Hilfe hier
YoungsterPhysician Auf diesen Beitrag antworten »

Und jetzt komme ich schon wieder nicht mehr weiter, also ganz von vorne:

Ich habe 2 Integrationswege gegeben und gezeigt, dass deren Produkt ebenfalls ein Integrationsweg ist:





Deren Produkt ist ebenfalls ein Integrationsweg.

Über diesen habe ich nun integriert und zwar so:



Mithilfe des Residuensatzes habe ich hier eine Lösung bekommen, soweit alles gut:

Jetzt soll ich zeigen dass

In dem zweiten Integral steht bewusst nur gamma2 und nicht das Produkt aus beiden...
Funktioniert das ähnlich, wie mit dem sinus-Integral von eben?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist hier ein bißchen komplizierter. Du kannst mit der Standardabschätzung arbeiten:



Das Supremum ist über alle auf der Spur von zu erstrecken, also über alle mit und . Mit ist die Länge der Kurve gemeint, also .

Es ist nicht nötig, den exakten Wert des Supremums zu bestimmen. Ziel ist es hier, dafür eine Abschätzung nach oben zu finden, die aber so scharf ist, daß sie für noch gegen 0 strebt. Dann strebt auch das Integral gegen 0.

Anfänger wissen oft nicht, wie sie da überhaupt beginnen sollen. Ich erledige daher einen großen Teil der Arbeit für dich.

Zunächst dürfen wir annehmen. Wir wollen ja später gehen lassen, also dürfen wir von vorneherein als genügend groß ansehen. Warum wir gerade 1 als untere Grenze wählen, wirst du gleich sehen. Jetzt schätzen wir den Betrag des Integranden ab. Zunächst formen wir ein bißchen um, elementare Eigenschaften des Betrags verwendend (hier die Verträglichkeit mit der Multiplikation und Division):



Um den Bruch nach oben abzuschätzen, schätzen wir den Nenner nach unten ab. Dafür nehmen wir die umgekehrte Dreiecksungleichung:

Wir wählen und (beachte auch, daß uns nur auf der Spur von interessieren, also insbesondere ist):



Und hier siehst du, warum wir angenommen hatten. Bei der ganzen Abschätzerei nach unten bleiben wir damit im Positiven. Das ist entscheidend, denn schätzt man einen Bruch mit positivem Zähler und Nenner nach oben ab, darf man den Nenner niemals unterhalb von 0 bringen, sonst passiert die Vorzeichenkatastrophe. Da die Quadratfunktion auf den positiven Zahlen streng monoton wächst, bleibt die Ungleichung beim Quadrieren erhalten:



Und jetzt kehren wir zur Hauptrechnung zurück:



Und jetzt mußt du dich in der Abschätzung noch um den Zähler kümmern. Wie kann man nach oben abschätzen? Verwende Eigenschaften der Exponentialfunktion und des Betrags und finde eine simple Abschätzung dieses Ausdrucks. Beachte, daß wir mit auf dem oberen Halbkreis sind.

Insgesamt bekommst du so eine Abschätzung:



Und wenn nun die rechte Seite dieser Abschätzung für gegen 0 strebt, dann auch die linke Seite. Wenn aber hinwieder der Betrag eines komplexen Ausdrucks gegen 0 strebt, so auch der komplexe Ausdruck selbst. Und das wolltest du ja zeigen.

Übrigens: mußt du auch schon voraussetzen, wenn du den Residuensatz anwenden willst, sonst liegt die Singularität gar nicht im Innern des Halbkreises.
YoungsterPhysician Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal vielen Dank für deine Mühe Leopold!
Ja stimmt, r >1 hatte ich vergessen mit in die Aufgabenstellung zu schreiben.

Diese Abschätzung folgt doch über:



Wobei ich benutzt habe, dass der Realteil maximal r sein kann, und da der Imaginärteil positiv ist
folgt, dass die maximal sein kann, aufgrund der Eigenschaften der reelen Exponentialfunktion.

Dies setze ich dann, in meine Abschätzung ein, und siehe da diese konvergiert gegen 0 für

Danke an alle die geholfen haben, die Aufgabe ist endlich durch Lehrer
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Das stimmt nicht ganz, denn mit .
YoungsterPhysician Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, danke. Habe auf meinem Blatt, von dem ich abtippe ein r hinzugemogelt.

Ist zun Glück im Grenzwert nicht hinderlich.
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