Ist die folgende Teilmenge ein linearer Unterraum? |
| 05.01.2017, 21:45 | Huxi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Ist die folgende Teilmenge ein linearer Unterraum? Ich habe die folgende Teilmenge: Ich soll rausfinden ob diese ein Untervektorraum ist. Als Lösung habe ich: Zum Beispiel ist 0 nicht in W ist . Ich verstehe jedoch nicht, wieso dies so ist, was es mit der 0 zu tun hat. Meine Ideen: Es müssen ja 3 Bedingungen erfüllt sein, damit es ein Vektorraum ist: 1, Nichtleer: ist es nicht, denn wir haben ja die Punkte (s-2, 1, 2s) 2, Abgeschlossen bezüglich Vektor-Addition: Wenn ich zwei Vektoren habe und ich sie Addiere dann sind sie ja immer noch im drin 3, Abgeschlossen bezüglich Skalar-Multiplikation: wenn ich einen Vektor mit einer beliebigen Zahl multipliziere, dann bleibe ich auch noch im - da ja quasi unendlich ist. Ich kann mir eventuell vorstellen, dass es wegen der mittleren 1 so ist, weil man vielleicht nicht mit einer negativen Zahl addieren und multiplizieren kann und man somit nicht durch die Null kommt. Dann müsste es aber noch die Bedingung geben, dann der Unterraum durch die Null gehen muss. Dies habe ich jedoch nicht gefunden. |
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| 05.01.2017, 21:58 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Ist die folgende Teilmenge ein linearer Unterraum?
Üblicherweise macht man es so, dass man bei der Frage, ob die Menge "nichtleer" ist, nachprüft, ob der Nullvektor enthalten ist. Das ist zwingend notwendig, sonst kann es kein UVR sein. Das siehst du leicht anhand der Bedingungen 2 und 3. Das folgt daraus unmittelbar. So kann man sich das Leben meistens einfacher machen. Denn ob der Nullvektor drin ist, sieht man ja in aller Regel auf Anhieb. So kann man Bedingung 1 schnell abarbeiten: Liegt der Nullvektor drin? Fall ja, ist Bedingung 1 schon mal erfüllt. Denn wenn der Nullvektor drin liegt, ist die Menge auf jeden Fall schon mal "nichtleer". Liegt er nicht drin, kann man schon abbrechen, denn dann kann es kein UVR mehr sein. Zwar könnte man auch mit einem anderen Vektor nachweisen, dass W "nichtleer" ist. Aber es ist praktischer, hier stets auf den Nullvektor zu schauen. Das wird in aller Regel so gehandhabt. Edit: Ein Nachtrag noch, weil du es ja nicht "gefunden" hast: W muss bezüglich Addition ja eine Gruppe bilden. Und eine Gruppe kommt nicht ohne neutrales Element aus. Und das ist natürlich der Nullvektor. |
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| 05.01.2017, 22:04 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ist x im Untervektorraum, so muss auch der Nullvektor 0=0x im Untervektorraum sein. Wenn nicht, dann ist die Teilmenge kein Untervektorraum. |
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| 05.01.2017, 22:04 | Huxi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Ist die folgende Teilmenge ein linearer Unterraum? Hallo, vielen Dank für die Antwort, mir ist es aber noch nicht ganz klar. Meine Überlegungen: Zum einen: ich hab ja die Punkte (s-2, 1, 2s). Wenn ich anstatt von s 3 einsetze, dann bekomme ich (1,1,6). Das sieht für mich nicht nicht-leer aus. Und zum zweiten. Wenn ich die Teilmenge mit 0 multipliziere, dann habe ich ja denn Nullvektor. |
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| 05.01.2017, 22:05 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Ist die folgende Teilmenge ein linearer Unterraum?
Schon. Das ist aber nicht der Punkt. Lies nochmal meinen Nachtrag oben, vielleicht wird es dann klarer. |
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| 05.01.2017, 22:11 | Huxi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Ist die folgende Teilmenge ein linearer Unterraum? Ein anderes Beispiel: (s-2, r, 2s) - Also ist hier die Bedingung der Nicht-leeren Menge erfüllt, weil man für r Null einsetzen kann? |
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| 05.01.2017, 22:37 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Ist die folgende Teilmenge ein linearer Unterraum? Ich weiß nicht genau, worauf du hinausmöchtest. Die Menge wäre "nichtleer", ja. Aber der Nullvektor wäre auch hier nicht enthalten. Denn damit s-2=0 ist, müsste s=2 sein. Dann wäre aber die dritte Komponente des Vektors (das 2s) 4. Also wieder die gleiche Geschicht: Nullvektor nicht drin, kein UVR. |
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| 06.01.2017, 14:01 | Huxi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Ist die folgende Teilmenge ein linearer Unterraum? Ou, sorry, hab das zweite Beispiel falsch aufgeschrieben. Korrekt ist es: (s − 2r, r, 2s). Und da würde es dann passen, denn wenn ich für r und s Null einsetze, bekomme ich (0,0,0) - was ja heisst ich hab den Nullvektor. Hoffe mein Verständnis ist nun korrekt. |
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| 06.01.2017, 14:11 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Ist die folgende Teilmenge ein linearer Unterraum? Kann ich nix zu sagen, weil ich nicht weiß, was "−" bedeuten soll. |
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| 06.01.2017, 14:13 | Huxi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Ist die folgende Teilmenge ein linearer Unterraum? Ah, wurde falsch übernommen. Richtig ist (s - 2r, r, 2s) |
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| 06.01.2017, 14:14 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Ist die folgende Teilmenge ein linearer Unterraum? Dann ja. |
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| 06.01.2017, 14:15 | Huxi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Ist die folgende Teilmenge ein linearer Unterraum? Super, habs jetzt begriffen. Vieeeelen lieben Dank für die Unterstützung. 
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