Doppelpost! Konvergenz monotoner Folge, mit konvergenter Teilfolge

06.01.2017, 00:23	SaturNorwa	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz monotoner Folge, mit konvergenter Teilfolge Die Aufgabe ist, zu beweisen, dass für alle monotone Folgen gilt, dass wenn sie eine konvergente Teilfolge besitzt, dies impliziert, dass sie auch konvergent ist. Ich habe mir dazu die Sätze von Weierstrass und Cauchy-Folgen nochmal genauer angeschaut. Allerdings schaffe ich es nicht einmal einen Beweisansatz/plan zu erstellen. Kann mir jemand helfen? ( Etwas formaler: Für alle a := monotone Folge, b := Teilfolge von a ; gilt (b:konvergent) impliziert (a: konvergent). )
06.01.2017, 07:39	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Geht eigentlich sehr einfach mit der Epsilon-Definition des Grenzwerts: Sei $\begin{align} (a_n)_{n=1,2,\ldots} \end{align}$ monoton fallend und Teilfolge $\begin{align} (a_{n_k})_{k=1,2,\ldots} \end{align}$ konvergent gegen $\begin{align} a \end{align}$ . Dann existiert für alle $\begin{align} \varepsilon>0 \end{align}$ ein $\begin{align} k_0=k_0(\varepsilon) \end{align}$ mit $\begin{align} \left\|a_{n_k}-a\right\| < \varepsilon \end{align}$ für alle $\begin{align} k\geq k_0 \end{align}$ . Nun ist $\begin{align} a\leq a_n \end{align}$ für alle $\begin{align} n \end{align}$ (warum?), daher folgt für alle $\begin{align} n\geq n_{k_0} \end{align}$ aus der Monotonie $\begin{align} 0 \leq a_n-a \leq a_{n_{k_0}}-a < \varepsilon \end{align}$ .

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