Stirlingsche Zahlen erster Art

06.01.2017, 14:00

Ulrich Ruhnau

Stirlingsche Zahlen erster Art

Die Stirlingschen Zahlen sind nicht Thema in meinem Physikstudium gewesen. Aber momentan interessiere ich mich dafür brennend. Weiß jemand einen Internetlink zu einer guten Beschreibung, wo die Stirlingschen Zahlen erster Art allgemeinverständlich veranschaulicht werden, ohne daß gleich von Homomorphismen und Permutationsgruppen die Rede ist?

Den Wikipediabeitrag über Stirlingzahlen habe ich mir schon durchgelesen.
Die Formel

$\begin{eqnarray*} \begin{bmatrix} n+1 \\ k \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} n \\ k-1 \end{bmatrix} + n \begin{bmatrix} n \\ k \end{bmatrix} \end{eqnarray*}$

ermöglicht es mir alle Stirlingzahlen erster Art zu generieren. Aber was kann man damit anfangen? Vor allen Dingen verstehe ich das Beispiel

$\begin{eqnarray*} (a b c)(d),\text{ }(a c b)(d),\text{ }(a b d)(c),\text{ }(a d b)(c),\text{ }(a c d)(b),\text{ }(a d c)(b),\text{ }(b c d)(a),\text{ }(b d c)(a),\text{ }(a b)(c d),\text{ }(a c)(b d),\text{ }(a d)(b c) \end{eqnarray*}$

dabei nicht. Was soll da ein Zykel sein? Warum nur am Anfang $\begin{eqnarray*} (a b c) \end{eqnarray*}$ dann noch einmal $\begin{eqnarray*} (acb) \end{eqnarray*}$ und mehr Permutationen kommen einfach nicht?

06.01.2017, 15:22

HAL 9000

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RE: Stirlingsche Zahlen erster Art

Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau
Warum nur am Anfang $\begin{eqnarray*} (a b c) \end{eqnarray*}$ dann noch einmal $\begin{eqnarray*} (acb) \end{eqnarray*}$ und mehr Permutationen kommen einfach nicht?

Naja, von den 4!=24 Permutationen fehlen noch:

1. die 6 aus Viererzykeln bestehenden: $\begin{align*} (abcd), (abdc), (acbd), (acdb), (adbc), (adcb) \end{align*}$

2. die 6 aus einem Zweierzykel bestehenden: $\begin{align*} (ab)(c)(d), (ac)(b)(d), (ad)(b)(c), (bc)(a)(d), (bd)(a)(c), (cd)(a)(b) \end{align*}$

3. die identische Permutation: $\begin{align*} (a)(b)(c)(d) \end{align*}$

Die Zykelschreibweise $\begin{align*} (abc) \end{align*}$ steht für die Element-Abbildungen
$\begin{align*} a\to b \end{align*}$
$\begin{align*} b\to c \end{align*}$
$\begin{align*} c\to a \end{align*}$
innerhalb der Permutation und kann völlig äquivalent auch als $\begin{align*} (bca) \end{align*}$ oder auch $\begin{align*} (cab) \end{align*}$ geschrieben werden. Beantwortet das deine Frage?

06.01.2017, 20:16

Ulrich Ruhnau

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RE: Stirlingsche Zahlen erster Art
Ein bisschen hilft das schon weiter, aber alles ist damit noch nicht erklärt. Z.B. deutet eine Buchstabenfolge $\begin{eqnarray*} (a b c) \end{eqnarray*}$ doch auf einen Dreierzyklus hin.
Was hat dieser Dreierzyklus bei $\begin{eqnarray*} \begin{bmatrix} 4 \\ 2 \end{bmatrix} \end{eqnarray*}$ zu suchen?

06.01.2017, 21:45

HAL 9000

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Die "2" steht nicht für die Länge, sondern die Anzahl der Zyklen! Und $\begin{align*} (abc)(d) \end{align*}$ hat nun mal zwei Zyklen: Einen Dreierzyklus $\begin{align*} (abc) \end{align*}$ und einen Einerzyklus $\begin{align*} (d) \end{align*}$ . Entsprechend enthält auch $\begin{align*} (ab)(cd) \end{align*}$ zwei Zyklen, die beiden Zweierzyklen $\begin{align*} (ab) \end{align*}$ und $\begin{align*} (cd) \end{align*}$ .

Das ist dann auch der Unterschied zu den von mir noch genannten 3 Fällen:

1. enthält die Permutationen mit einem Zyklus
2. enthält die Permutationen mit drei Zyklen
3. enthält die eine Permutation mit vier Zyklen

07.01.2017, 14:48

Ulrich Ruhnau

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Danke das hilft mir weiter!

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