Primfaktorzerlegung in Z[X], Q[X], Z[i][X] und Q[i][X]

06.01.2017, 14:32

Chin

Primfaktorzerlegung in Z[X], Q[X], Z[i][X] und Q[i][X]

Meine Frage:
Die Aufgabe lautet die primfaktorzerlegung von dem Polynom $\begin{eqnarray*} (2x^{2} +2)(x^{5} -10x+5) \end{eqnarray*}$ in Z[X], Q[X], Z[i][X] und Q[i][X] zu finden.

Meine Ideen:
Ich weiß leider nicht genau was ich machen muss und ich habe leider auch kein Beispiel an dem ich mich orientieren kann. Ich habe die Klammern im Polynom aufgelöst, also: $\begin{eqnarray*} 2x^{7} -20x^{3} +10x^{2} +2x^{5} -20x+10 \end{eqnarray*}$ . Das Polynom ist in Z[X] reduzibel, weil die 2 ausgeklammert werden kann: $\begin{eqnarray*} 2(x^{7} -10x^{3} +5x^{2} +x^{5} -10x+5) \end{eqnarray*}$ Ist das schon die Primfaktorzerlegung? (Mit Eisenstein (für p=5) ist ja das Polynom in den Klammern irreduzibel)

Ist die Vorgehensweise richtig? oder geht es bei der Aufgabe um etwas anderes? Ist es überhaupt sinnvoll am Anfang die Klammern aufzulösen?

06.01.2017, 15:50

tatmas

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Hallo,

die bist in die genau falsche Richtung gelaufen.
Bei einer Primfaktorzerlegung werden es mehr Faktoren, nicht weniger.
Ein Beispiel für eine PFZ ist z.B. 30=2*3*5 in den ganzen Zahlen.

Zitat:

(Mit Eisenstein (für p=5) ist ja das Polynom in den Klammern irreduzibel)

Das kann nicht stimmen, das Polynom ist reduzibel, eine Zerlegung steht ganz oben in deinem Post.
$\begin{eqnarray*} [latex](x^{2} +1)(x^{5} -10x+5) \end{eqnarray*}$ i[/latex] (oder das Polynom war falsch berechnet.)

Du hast bereits Faktoren. Finde jeweils heraus ob diese Prim sind und wenn nicht finde Primfaktoren davon.

06.01.2017, 16:28

Chin

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Hallo,
danke für die schnelle Antwort. Ich denke jetzt ist mir die Aufgabe klarer geworden. Also $\begin{eqnarray*} x^{5} -10x+5 \end{eqnarray*}$ müsste doch irreduzibel in Z[X] sein (mit Eisenstein p=5). Bei $\begin{eqnarray*} 2x^{2} +2 \end{eqnarray*}$ kann man natürlich die 2 rausziehen und $\begin{eqnarray*} x^{2} +1 \end{eqnarray*}$ müsste irreduzibel sein. Dh. die Primfaktorzerlegung in Z[X] ist dann $\begin{eqnarray*} 2(x^{2} +1)(x^{5} -10x+5) \end{eqnarray*}$

06.01.2017, 16:31

Chin

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Ist die Zerlegung in Q[X] eigentlich dieselbe? Im Grunde überprüfe ich wieder welche Faktoren prim sind. Die Argumentaion in Q[X] ist doch analog zu der in Z[X], oder gehe ich wieder in die falsche Richtung?

06.01.2017, 16:49

tatmas

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Ja so sieht es besser.
Ersetze noch das "müsste" durch einen Beweis (warum ist dieses Pol. also irreduzibel) dann stimmt der erste Teil.
Und in den rationalen Zahlen sieht die Zerlegung anders aus. Einer deiner 3 Primfaktoren ist keiner in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q [X] \end{eqnarray*}$

06.01.2017, 17:13

Chin

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$\begin{eqnarray*} x^{2} +1 \end{eqnarray*}$ kann ja in Z[X] (und auch in Q[X]) nicht weiter zerlegt werden. Außerdem hat das Polynom auch keine Nullstellen in Z und Q. Nur die Zerlegung in komplexe Faktoren wäre möglich. Reicht das als Beweis aus?
$\begin{eqnarray*} x^{5} -10x+5 \end{eqnarray*}$ müsste doch auch irreduzibel in Q[x] sein, an der Begründung mit Eisenstein ändert sich ja nichts.Und die 2 ist ja einfach eine Einheit in Q[X]. Ich stehe also etwas auf dem Schlauch. Könntest Du mir bitte sagen, welcher Faktor in Q[X] nicht irreduzibel ist? Dann weiß ich was in meinem Gedankengang falsch ist.

06.01.2017, 17:27

tatmas

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} x^{2} +1 \end{eqnarray*}$ kann ja in Z[X] (und auch in Q[X]) nicht weiter zerlegt werden.

Das sollst du ja gerade zeigen, ir-reduzibel heißt ja nicht zerlegbar.

Zitat:

Außerdem hat das Polynom auch keine Nullstellen in Z und Q

Das ist die Begründung. Ein Polynom vom Grad 2 oder 3 ist ja irreduzibel genau dann wenn es keine Nullstelle hat.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} x^{5} -10x+5 \end{eqnarray*}$ müsste doch auch irreduzibel in Q[x] sein, an der Begründung mit Eisenstein ändert sich ja nichts.

Ein Beweis ist erst dann ein Beweis wenn du dir selber sicher bist. Wenn du dir selber unsicher musst du für dich genauer argumentieren.
Aber ja Eisenstein stimmt hier.

Zitat:

Und die 2 ist ja einfach eine Einheit in Q[X]

Und können Einheiten prim sein? Schau dir mal die Defintion von primen Element an.

07.01.2017, 13:31

Chin

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Irreduzible Elemente sind ja grade dadurch definiert, dass sie keine Einheiten sind. Aber ein Element, dass irreduzibel ist, bleibt irreduzibel, wenn man es mit einer Einheit multipliziert. Ist es richtig, dass $\begin{eqnarray*} (2x^{2}+2)(x^{5} -10x+5) \end{eqnarray*}$ schon die Primfaktorzerlegung in Q[X] ist?

07.01.2017, 15:20

tatmas

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Zitat:

Irreduzible Elemente sind ja grade dadurch definiert, dass sie keine Einheiten sind.

Du meinst vermutlich das Richtige formulierst es aber falsch.
Irreduzible Elemente sind per Definition keine Einheiten. Aber es gibt Nicht-Einheiten die nicht irreduzibel sind.
Ja das ist die PFZ in den rationalen Zahlen.

07.01.2017, 15:45

Chin

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Ok. Danke für die Antwort.
Wie findet man die Primfaktorzerlegung in Z[i][X]? 2 ist irreduzibel. $\begin{eqnarray*} (x^{2}+1) \end{eqnarray*}$ kann man aber noch zerlegen in $\begin{eqnarray*} (x+i)(x-i) \end{eqnarray*}$ mit der dritten binomischen Formel. Aber wie kann ich $\begin{eqnarray*} (x^{5} -10x+5) \end{eqnarray*}$ in Z[i][X] zerlegen? Gibt es da eine bestimmte Herangehensweise? Könntest Du mir vielleicht den Ansatz zeigen?

07.01.2017, 16:05

tatmas

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Zitat:

2 ist irreduzibe

Und wie beweist du das?

Zitat:

Aber wie kann ich $\begin{eqnarray*} (x^{5} -10x+5) \end{eqnarray*}$ in Z[i][X] zerlegen?

Gar nicht. Zeige Irreduzibilität.

07.01.2017, 18:21

Chin

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2 ist keine Einheit und auch nicht als Produkt von Nicht-Einheiten darstellbar. Also ist 2 irreduzibel in Z[i][X]. Vielen Dank für den Hinweis, dass $\begin{eqnarray*} (x^{5} -10x+5) \end{eqnarray*}$ irreduzibel ist. Allerdings komme ich beim Beweis dafür nicht weiter. Kann man ein Kriterium z.B. Eisenstein dafür benutzen?

07.01.2017, 18:40

tatmas

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Zitat:

2 ist keine Einheit und auch nicht als Produkt von Nicht-Einheiten darstellbar.

Es ist als Produkt von Nicht-Einheiten darstellbar.
Eine Behauptung genauer hinzuschreiben ist kein Beweis.
Warum ist es denn deiner Meinung nach nicht als Produkt darstellbar?

Zitat:

Kann man ein Kriterium z.B. Eisenstein dafür benutzen?

Ja, dafür sind die Kriterien da.

08.01.2017, 11:49

Chin

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Daran habe ich gar nicht gedacht. Ist das so richtig: $\begin{eqnarray*} (1+i)(1-i)(x+i)(x-i)(x^{5} -10x+5) \end{eqnarray*}$ in Z[i][X]? Und ist die Primfaktorzerlegung in Q[i][X] die gleiche?

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