Körpererweiterungen, von Teilmenge erzeugte Unterkörper

07.01.2017, 15:40

Biene11

Körpererweiterungen, von Teilmenge erzeugte Unterkörper

Meine Frage:
Hallo zusammen,

in unserem Skript zur Algebra 1 Vorlesung bin ich auf folgende Aussage gestoßen:

(i) Es sei L|K eine Körpererweiterung und S eine Teilmenge von L. Dann gilt $\begin{eqnarray*} K(S)= \bigcup_{S' \subset S} K(S') \end{eqnarray*}$ wobei S' die endlichen Teilmengen von S durchläuft.

Im Skript steht zum Beweis nur "Klar.", ich würde diesen aber gern mal nachvollziehen können, da er für mich nicht so klar ist.

Meine Ideen:
K(S) ist in unserem Skript als der von S erzeugte Unterkörper von L über K wie folgt definiert:
$\begin{eqnarray*} K(S)= \bigcap_{E\subseteq L; K,S\subseteq E} E \end{eqnarray*}$
Also der Durchschnitt aller Unterkörper von L, die sowohl K als auch die Menge S enthalten.
(also gilt schonmal $\begin{eqnarray*} K \leq K(S)\leq L \end{eqnarray*}$ )
Anschaulich ist K(S) doch der kleinste Unterkörper von L, der K und S enthält, so verstehe ich das erstmal.
Also muss ich ja irgendwie zeigen das $\begin{eqnarray*} \bigcap_{E\subseteq L; K,S\subseteq E} E = \bigcup_{S' \subset S} K(S') \end{eqnarray*}$ gilt, aber ich verstehe nicht so ganz wie ich von dem durschnitt "aller Unterkörper" zu der vereinigung von "endlichen Teilmengen" komme, dachte erstmal irgendwie an de Morgan, um von $\begin{eqnarray*} K(S)= \bigcap_{E\subseteq L; K,S\subseteq E} E \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} = \bigcup_{E\subseteq L; K,S\subseteq E} E^{c} \end{eqnarray*}$ zu kommen, weiß aber auch nicht wirklich wie mir das weiterhelfen kann.

Würde mich über jegliche Hilfe freuen!
Beste Grüße Biene

07.01.2017, 16:27

tatmas

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Hallo,

Zitat:

Anschaulich ist K(S) doch der kleinste Unterkörper von L, der K und S enthält,

Streich das anschaulich. Das kann (und mMn sollte man sogar) als Definition verwenden und auch hier damit arbeiten.

Zeige, dass die rechte Seite Teilmenge von K(S) ist und ein Körper ist.
Damit bist du fertig.

07.01.2017, 17:22

Biene11

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Vielen Dank schonmal für den Tipp!
Das die rechte Seite Teilmenge von der linken ist hab ich gezeigt, jedoch stehe ich beim zeigen das es ein Körper ist grade etwas aufm Schlauch, also ich würde lieber versuchen zu zeigen das es Teilkörper von L ist um mir einige Axiome zu spären, dann dachte ich das $\begin{eqnarray*} 0_{L}\in \bigcup_{S'\subseteq S} K(S') \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 1_{L}\in \bigcup_{S'\subseteq S} K(S') \end{eqnarray*}$ schonmal gilt da ja schon $\begin{eqnarray*} 0_{L},1_{L}\in K(S') \end{eqnarray*}$ .
Der einfachhaltshalber nenne ich jetzt $\begin{eqnarray*} U = \bigcup_{S'\subseteq S} K(S') \end{eqnarray*}$ .
Wenn ich nun zeigen will das für $\begin{eqnarray*} a,b \in U \end{eqnarray*}$ auch gilt das $\begin{eqnarray*} a+b \in U \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a*b \in U \end{eqnarray*}$ , wie kann ich mir dann diese beliegen a, b vorstellen, verstehe irgendwie noch nich so ganz wie dieses U aussieht :/
Normalerweise müsste doch wenn a,b aus U sind, a,b auch aus irgend einem der K(S') sein und somit sowieso die addidivität und multiplikativität gelten, da sie ja schon für die K(S') gilt, oder wo ist hier mein Denkfehler?

07.01.2017, 17:45

tatmas

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Zitat:

also ich würde lieber versuchen zu zeigen das es Teilkörper von L i

Das ist ja auch das sinnvolle hier.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} 0_{L},1_{L}\in K(S') \end{eqnarray*}$ .

Was ist hier S' ? Da musst du schon was konkretes hinschreiben. (S kann u.U ja sogar die leere Menge sein).
Netterweise gilt ja sogar $\begin{eqnarray*} 0_{L},1_{L}\in K \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Wenn ich nun zeigen will das für $\begin{eqnarray*} a,b \in U \end{eqnarray*}$ auch gilt da

Dann wähle ein geschicktes S' ist das Prblem ist erledigt.

Zitat:

oder wo ist hier mein Denkfehler?

Nirgendwo. Wieso vermutest du, du hättest einen?

08.01.2017, 16:59

Biene11

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Sorry für die verspätete Antwort, aber ich verstehe nicht so ganz wie ich die S' wählen muss das es klappt, sie müssen ja laut vorraussetzung schonmal endlich sein und Teilmenge von S.
Muss ich diese dann irgendwie minimal wählen, sodass diese genau nur 0,1,a,-a,a^(-1) enthalten um die Axiome zu erfüllen oder wie muss ich das verstehen ?

08.01.2017, 19:44

tatmas

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Zitat:

Muss ich diese dann irgendwie minimal wählen,

Nein. Du musst sie so wählen, dass es funktioniert.
Und du musst wissen, dass die Elemente auch drin sind.
Und du kannst sie für jedes Axiom verschieden wählen.

09.01.2017, 12:37

Biene11

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Also muss ich für die Addition S' wählen als S'={0,1,a,b,a+b} mit a,b elemente aus S und für Multiplikation dann S'={0,1,a,b,ab} mit a,b elemente aus S oder wie kann ich das verstehen? Sorry so abstrakt zu denken fällt mir leider recht schwer, ich brauche dafür immer irgendwie konkrete Beispiele:/

Ich würde mir Beispielshalber K vorstellen als Körper der rationalen Zahlen und L als Körper der reellen Zahlen, dann könnte S ja z.B. sowas sein S={sqrt(x)} mit x aus den ganzen Zahlen, also alle einfachen Wurzeln von ganzen Zahlen, dann wäre jetzt z.B. S'={0,1,sqrt(2),sqrt(3), sqrt(2)+sqrt(3)} für die Addition und S'={0,1,sqrt(2),sqrt(3),sqrt(6)} für die Multiplikation und diese dann vereinigt wären dann ja wieder ganz S, oder ist dieses Beispiel nicht geeignet?

09.01.2017, 14:04

tatmas

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Zitat:

Also muss ich für die Addition S' wählen als S'={0,1,a,b,a+b} mit a,b elemente aus S

Nein, du weder musst du noch kannst du.
Wenn a,b aus S sind weißt du nicht ob a+b oder ab in S sind, also kannst du S' nicht so wählen.
Gute Nachricht: Du brauchst weder a+b noch ab als Elemente von S'.
Du hast ja, dass K(S') immer ein Körper ist.

10.01.2017, 01:52

RavenOnJ

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Hey,
du denkst da zu kompliziert. Wenn $\begin{align*} a,b,c \in S' \end{align*}$ , dann sind alle Axiome erfüllt in $\begin{align*} K(S') \end{align*}$ . Da $\begin{align*} K(S') \end{align*}$ der kleinste Teilkörper ist, der $\begin{align*} K \end{align*}$ und $\begin{align*} S' \end{align*}$ enthält, gelten für alle Tripel $\begin{align*} a,b,c \end{align*}$ aus dem durch die Vereinigung der Teilkörper entstandenen $\begin{align*} K(S) \end{align*}$ automatisch die Körperaxiome. Denn man findet immer ein $\begin{align*} K(S') \end{align*}$ , in dem das Tripel enthalten ist.

10.01.2017, 16:32

Biene11

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Sorry jetzt bin ich irgendwie noch mehr verwirrt, also muss ich die S' doch nicht explizit wählen/hinschreiben? Weil grundsätzlich gilt ja nicht das die Vereinigung von Körpern wieder ein Körper sein muss (irgendwann vorher schonmal bewiesen) jedoch klingt das für mich grade irgendwie so , als ob ich dies tun würde, also das U Körper sein muss, da die K(S') ja schon Körper sind oder verstehe ich das falsch?

10.01.2017, 17:09

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Biene11
Weil grundsätzlich gilt ja nicht das die Vereinigung von Körpern wieder ein Körper sein muss
...

Das ist richtig, wenn man zwei Körper $\begin{align*} K(R),K(S) \end{align*}$ hat, wobei $\begin{align*} R \end{align*}$ nicht Teilmenge von $\begin{align*} S \end{align*}$ und umgekehrt. Denn dann gibt es immer Elemente $\begin{align*} r\in R,s\in S,r\not\in S,s\not\in R \end{align*}$ , sodass $\begin{align*} rs \end{align*}$ natürlich nicht in $\begin{align*} K(R)\cup K(S) \end{align*}$ enthalten ist, die Vereinigung der beiden Körper ist also selber kein Körper.

In deinem Fall ist es allerdings anders, da du nur Körper $\begin{align*} K(S')\subset K(S) \end{align*}$ mit $\begin{align*} S'\subset S \end{align*}$ betrachtest. Alle diese Körper $\begin{align*} K(S') \end{align*}$ sind Unterkörper von $\begin{align*} K(S) \end{align*}$ , also auch ihre Vereinigung. Denn von zwei (endlichen) Teilmengen $\begin{align*} S',S'' \end{align*}$ von $\begin{align*} S \end{align*}$ gibt es immer eine weitere (endliche) Teilmenge von $\begin{align*} S \end{align*}$ , die die beiden ersten Teilmengen enthält. Sei $\begin{align*} T \end{align*}$ eine Obermenge mit $\begin{align*} S'\cup S''\subset T\subset S \end{align*}$ , dann ist $\begin{align*} K(S')\subset K(T)\subset K(S) \end{align*}$ und $\begin{align*} K(S'')\subset K(T)\subset K(S) \end{align*}$ , sowie $\begin{align*} K(S'\cup S'')\subset K(T)\subset K(S) \end{align*}$ .

Jetzt kannst du dir noch überlegen, warum $\begin{align*} K(S) \end{align*}$ nicht echt größer als $\begin{align*} \bigcup_{S'\subset S}K(S') \end{align*}$ sein kann, wobei die $\begin{align*} S' \end{align*}$ endlich sein sollen.

10.01.2017, 17:50

Biene11

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Super danke jetzt hab ich verstanden wie es gemeint ist!

Und bezüglich der Vereinigung würde ich jetzt einfach behaupten , da die S' alles endliche teilmengen von S sind und die K(S') ja alle Teil Körper von K(S) welche von endlichen mengen erzeugt werden, können die S' vereinigt ja maximal S ergeben bzw. Die K(S') vereinigt maximal K(S).
Wobei mir noch nicht ganz klar ist warum die S' unbedingt endlich seien müssen, an welcher Stelle würde denn die Argumentation kaputt gehen, wenn die S' nicht endlich wären? Solange die S ' doch teilmengen von S sind, ergibt ihre Vereinigung doch maximal S und bei den erzeugten Körpern K(S') doch auch oder nicht?

10.01.2017, 18:39

RavenOnJ

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Die Argumentation würde nicht kaputt gehen, sondern trivial werden, da dann $\begin{align*} S \end{align*}$ ebenfalls eine der Teilmengen wäre. Aber selbst, wenn man nur echte Teilmengen von $\begin{align*} S \end{align*}$ zuließe, würde das nichts ändern. Es ist halt interessant, dass schon die Forderung, dass alle $\begin{align*} S' \end{align*}$ endlich sein müssen, ausreicht.

10.01.2017, 19:17

Biene11

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Dann bin ich wohl einfach mit der falschen Einstellung an diese Aussage heran gegangen, vielen lieben Dank für die Erklärungen smile

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