Prüfung Analysis

09.01.2017, 15:55

Student 0815

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Prüfung Analysis

Guten Tag

Wink

Ich habe mich an einer Analysis Prüfung versucht (die keine Lösungen hat) und wollte fragen, ob vielleicht jemand meine Lösungen , bzw. Lösungsansätze überprüfen könnte und mir vielleicht bei mathematisch korrekten Formulierungen helfen könnte. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zu 1.)

a.) wahr, Beispiel dafür ist die Folge $\begin{eqnarray*} a_n=c \end{eqnarray*}$ wobei c eine konstante Zahl ist.
b.) Da wird von einer Folge natürlicher Zahlen ausgehen, würde ich behaupten, dies ist falsch. So ist die Zahlenfolge beschränkt, ihre Umkehrfunktion wäre es jedoch in dem Fall nicht.
c.) wahr, Beispiel dafür ist die Folge $\begin{eqnarray*} a_n=n \end{eqnarray*}$ .
d.) wiederum behaupte ich, dies ist falsch. In den reellen Zahlen hätte ich wohl einen Bruch genommen, hier geht das ja nicht. Die Folge dürfte nach Aufgabenstellung ja nicht nach oben beschränkt sein, ist sie dies jedoch nicht, ist ihre Umkehrfunktion beschränkt (natürliche Zahlen).

2.) Es muss eine Potenzreihe mit dem Konvergenzradius 2 entstehen, die in i.) in -2 und 2 divergiert und in ii.) für 2 konvergiert.

Für i smile

smile

habe ich eine Folge der Form $\begin{eqnarray*} (2+2/n) \end{eqnarray*}$ verwendet. Diese sollte (falls ich mich nicht verrechnet habe) für -2 und 2 divergieren.
Bei ii.) hadert es jedoch. Hat da jemand eine Idee?

3.)
Da der limes für n=1 nicht existiert, muss n>1 sein. sonst existiert der limes in 0
Jetzt weiss ich aber nicht, wie ich mit dem m umgehen soll. Meiner Meinung nach, spielt es keine Rolle (wir gaben analog in der Vorlesung den Beweis gebracht, dass $\begin{eqnarray*} x*sin(1/x) \end{eqnarray*}$ stetig ist.).
Wenn mich jemand aufklären könnte, wäre ich sehr dankbar Hammer

Hammer

Vielen Dank falls sich jemand die Zeit nimmt, mir zu helfen Augenzwinkern

Augenzwinkern

09.01.2017, 19:28

10001000Nick1

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Erstmal vorneweg: Du sprichst die ganze Zeit von Umkehrfunktionen, meinst aber sicherlich das Reziproke der Folge.

Deine Antwort zu 1b) stimmt nicht. Wieso sollte der Kehrwert unbeschränkt sein?

Und bei 1d): Eine divergente Folge muss nicht unbeschränkt sein. Andersrum liefert die Beschränktheit einer Folge noch nicht die Konvergenz.

Deine Antworten zu a) und c) sind richtig.

(Noch ein Hinweis: Eine konvergente Folge natürlicher Zahlen ist ab einem bestimmten Index konstant.)

Zur zweiten Aufgabe: Die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \left(2+\frac 2n\right) x^n \end{eqnarray*}$ hat den Konvergenzradius 1; das kann also nicht stimmen.
Überleg dir vielleicht erstmal eine Folge, die genau für $\begin{eqnarray*} x\in (-1,1) \end{eqnarray*}$ konvergiert (d.h. für $\begin{eqnarray*} |x|<1 \end{eqnarray*}$ ). Nicht zu kompliziert denken! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Korrigiere das erstmal; die dritte Aufgabe machen wir später. smile

smile

09.01.2017, 19:29

URL

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RE: Prüfung Analysis
zu 1
a) ok
bei b) kann man sich überlegen, dass eine solche Folge ab einem gewissen Index konstant sein muss.
c) ok
d) Bedenke, dass eine Folge schon dann nicht konvergiert, wenn sie zwei konvergente Teilfolgen mit verschiedenen Grenzwerten hat.
Edit: Und weg Wink

Wink

09.01.2017, 20:39

Student 0815

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Zuerst einmal vielen, vielen Dank smile

smile

Ich glaube, ich habe für d.) jetzt eine Beispiel-Folge gefunden:
$\begin{eqnarray*} (2+(-1)^n) \end{eqnarray*}$ Diese hat zwei Häufungspunkte und ist somit divergent, sowohl in dieser Form, wie auch, wenn ich sie als $\begin{eqnarray*} 1/a_n \end{eqnarray*}$ schreibe. Danke für den Hinweis Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zu b.) werde ich mir wohl morgen noch Gedanken machen müssen, ich komme da auf keinen grünen Zweig.

2.)
Ich bin jetzt Ihrem Hinweis gefolgt, Nick, und habe eine Potenzreihe der Form mit der Folge $\begin{eqnarray*} a_n=n^2 \end{eqnarray*}$ gefunden. Diese hat den Konvergenzradius 1 (hoffentlich Big Laugh

Big Laugh

) und divergiert für die beiden Randpunkte 1 und -1, da $\begin{eqnarray*} n^2 \end{eqnarray*}$ keine Nullfolge ist.

Danke nochmals für die Antworten. Wink

Wink

09.01.2017, 20:58

10001000Nick1

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Dein Beispiel zu 1d) passt.

Deine Reihe zu 2a) ist auch richtig. Allerdings hätte ich an die geometrische Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty x^n \end{eqnarray*}$ gedacht (deswegen sagte ich "nicht zu kompliziert" Augenzwinkern

Augenzwinkern

).
Außerdem hatte ich völlig übersehen, dass du ja schon eine Reihe mit Konvergenzradius 1 gefunden hattest, die für $\begin{eqnarray*} x=\pm 1 \end{eqnarray*}$ nicht konvergiert, nämlich $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \left(2+\frac 2n\right) x^n \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wie auch immer, egal welche von diesen Reihen du nun nimmst: Hast du eine Idee, wie du dir aus einer Reihe mit Konvergenzradius 1 eine mit Konvergenzradius 2 basteln kannst?

Zur Aufgabe 2b): Denk mal an die (divergente) harmonische Reihe bzw. die (konvergente) alternierende harmonische Reihe.

09.01.2017, 21:03

Student 0815

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Danke für die schnelle Antwort Augenzwinkern

Augenzwinkern

Leider weiss ich nicht, wie ich den Konvergenzradius "einfach so" erhöhen kann. In der Folge 1 addieren ist wohl zu einfach verwirrt

verwirrt

Zu 2.b) werde ich mir wohl auch noch morgen überlegen müssen, ich bin wohl zu erschöpft im Moment Forum Kloppe

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09.01.2017, 21:12

10001000Nick1

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Tipp: Betrachte die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty a_n\left(\frac x2\right)^n \end{eqnarray*}$ (wobei $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty a_nx^n \end{eqnarray*}$ eine der drei Reihen von oben mit Konvergenzradius 1 ist).

Dann bis morgen. Wink

Wink

10.01.2017, 08:49

Student 0815

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Guten Morgen Wink

Wink

Ich habe jetzt meine Folge so angepasst: $\begin{eqnarray*} a_n=n^2/2^n \end{eqnarray*}$ . Diese hat den Konvergenzradius 2 und divergiert für 2 und -2.
Leider kann ich, trotz einer Nacht Schlaf, nicht viel mit dem Hinweis zu 2.b) anfangen. verwirrt

verwirrt

Ich habe herausgefunden, dass der Konvergenzradius der alternierenden harmonischen Reihe 1 ist, und dass sie für -1 und 1 konvergiert, ich weiss jetzt aber nicht, was ich damit anstellen soll Hammer

Hammer

10.01.2017, 09:03

klarsoweit

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Zitat:

Original von Student 0815
Ich habe jetzt meine Folge so angepasst: $\begin{eqnarray*} a_n=n^2/2^n \end{eqnarray*}$ . Diese hat den Konvergenzradius 2 und divergiert für 2 und -2.

Die geht, aber warum nicht einfach $\begin{eqnarray*} a_n = \frac{1}{2^n} \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Original von Student 0815
Ich habe herausgefunden, dass der Konvergenzradius der alternierenden harmonischen Reihe 1 ist, und dass sie für -1 und 1 konvergiert

Kannst du das mal etwas präzisieren?

10.01.2017, 09:27

Student 0815

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Danke für die Antwort smile

smile

Was genau soll ich präzisieren? verwirrt

verwirrt

Meine Rechnung? Wenn ja, dort habe ich einfach das Cauchy Verfahren angewendet. Die Randpunkte habe ich eingesetzt, wofür ich dann die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty (1/(n+1)) \end{eqnarray*}$ für x=-1 bekommen habe, welche konvergiert.
Analog habe ich für x=1 $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty ((-1)^n/(n+1))1^n \end{eqnarray*}$ bekommen, welche ebenfalls konvergiert, da $\begin{eqnarray*} 1/(n+1) \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge ist und die Reihe somit nach dem Leibniz Kriterium für alternierende Reihen konvergiert.
Jedoch weiss ich eben nicht, wie ich eine Reihe konstruieren kann, die die gewünschte Form aus 2.b) hat.
Könnten Sie mir weiterhelfen? smile

smile

10.01.2017, 09:56

klarsoweit

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Zitat:

Original von Student 0815
Was genau soll ich präzisieren?

Diese Aussage: "Ich habe herausgefunden, dass der Konvergenzradius der alternierenden harmonischen Reihe 1 ist, und dass sie für -1 und 1 konvergiert."
In dieser Form ist sie verdachtsweise falsch. Mehr könnte man sagen, wenn du sagst, welche Reihe du da effektiv betrachtest.

Zitat:

Original von Student 0815
Die Randpunkte habe ich eingesetzt, wofür ich dann die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty (1/(n+1)) \end{eqnarray*}$ für x=-1 bekommen habe, welche konvergiert.

Also das ist jetzt definitiv falsch. Auch hier würde es helfen, wenn du mal die betrachtete Potenzreihe hinschreibst. (Nach all dem hin und her in dem Thread ist das einfach nicht klar.)

Zitat:

Original von Student 0815
Analog habe ich für x=1 $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty ((-1)^n/(n+1))1^n \end{eqnarray*}$ bekommen, welche ebenfalls konvergiert, da $\begin{eqnarray*} 1/(n+1) \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge ist und die Reihe somit nach dem Leibniz Kriterium für alternierende Reihen konvergiert.

Für das Leibniz-Kriterium fehlt noch die Monotonie, die zwar vorliegt, aber wenigstens erwähnt werden sollte. smile

smile

10.01.2017, 10:04

Student 0815

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Danke, das mit der Aussage stimmt natürlich, ich versuche präziser zu schreiben in Zukunft Freude

Freude

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty (-1)^(n-1)(1/n) \end{eqnarray*}$ ist die alternierende harmonische Reihe. Verwendet habe ich die Potenzreihe der Form:
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty (-1)^n(1/(n+1))x^n \end{eqnarray*}$

10.01.2017, 10:19

klarsoweit

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OK, wir nehmen also die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n+1} x^n \end{eqnarray*}$ .

Diese hat jetzt den Konvergenzbereich (-1; 1] . Nun mußt du das noch so anpassen, daß du den Konvergenzbereich (-2; 2] erreichst. smile

smile

10.01.2017, 10:21

Student 0815

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Darf ich jetzt hier (wie oben) durch 2^n dividieren? smile

smile

10.01.2017, 10:28

klarsoweit

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Dürfen darf man in jedem Fall. Die Frage ist eher, ob damit das gewünschte Ziel erreicht wird. Das ist hier allerdings der Fall und sollte sich auch leicht zeigen lassen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

10.01.2017, 10:30

Student 0815

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Danke viel, viel mal für die Hilfe (und die Geduld) Big Laugh

Big Laugh

Könnten Sie mir vielleicht noch schnell bei Aufgabe 3 helfen? Wir haben eine ähnliche Aufgabe für den Sinus in den Übungen gelöst, jedoch weiss ich nicht, ob ich diese Ansätze ohne weiteres auf den Cosinus übertragen darf verwirrt

verwirrt

10.01.2017, 10:41

10001000Nick1

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Die dritte Aufgabe machst du direkt über die Definition der Ableitung, d.h. über den Grenzwert des Differenzenquotienten. (So habt ihr das sicherlich auch beim Sinus gemacht).

Schreib dir also auf, wie die Ableitung im Nullpunkt definiert ist und schaue, wann dieser Grenzwert existiert.

10.01.2017, 10:52

Student 0815

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Hallo nochmal Wink

Wink

$\begin{eqnarray*} lim(x^n*cos(1/x^m))/(x) \end{eqnarray*}$ für x gegen 0 muss existieren. Dies tut er nur, wenn n grösser gleich 2 ist, sonst kürzt sich das x weg und übrig bleibt cos(1/x^m). Da der Cosinus eine stetige Folge ist, nimmt er für (1/x) x geht gegen 0 unendlich oft jeden Wert zwischen 1 und -1 an, ist also nicht stetig im Nullpunkt, da die links- und rechtsseitigen Grenzwerte nicht übereinstimmen, bzw. nicht existieren.
Die Potenz m im Bruch hat keinen Einfluss auf den Grenzwert.
Also ist die Funktion differenzierbar für $\begin{eqnarray*} n>1 \end{eqnarray*}$ und für alle m.

Hoffe das stimmt so Augenzwinkern

Augenzwinkern

10.01.2017, 11:03

10001000Nick1

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Sieht schon gut aus, aber noch zwei Hinweise:
Die Begründung "nimmt jeden Wert unendlich oft an" für die Nichtexistenz des Grenzwertes $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0} \cos(\frac{1}{x^m}) \end{eqnarray*}$ solltest du nochmal präziser formulieren (anschaulich ist das sicherlich richtig, aber eben kein strenger mathematischer Beweis). Für den Sinus habt ihr das ja sicherlich schon gezeigt; und genauso funktioniert das hier.
(Wobei man das in einer Prüfung sowieso voraussetzen dürfte, wenn das in der Vorlesung schon gezeigt wurde.)

Und dann sollte in deiner Begründung, warum der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0} x^{n-1}\cos(\frac{1}{x^m}) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\geq 2 \end{eqnarray*}$ existiert, irgendwo das Wort "Beschränktheit" fallen: $\begin{eqnarray*} \cos(\frac{1}{x^m}) \end{eqnarray*}$ ist beschränkt, $\begin{eqnarray*} x^{n-1} \end{eqnarray*}$ geht gegen 0, also ist auch der ganze Grenzwert 0.
Ohne die Beschränktheit wüsste man überhaupt nicht, ob der Grenzwert existiert.

Deine Lösung $\begin{eqnarray*} n\geq 2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} m\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ beliebig war jedenfalls richtig. Augenzwinkern

Augenzwinkern

10.01.2017, 11:08

Student 0815

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Danke für den Hinweis mit der Beschränktheit. Wieder das hübsche Leibniz-Kriterium Freude

Freude

Leider haben wird in den Korrekturen der Übung effektiv die Begründung, dass der Sinus den Wert [-1,1] unendlich oft annimmt verwirrt

verwirrt

Wie könnte ich das mathematisch korrekt formulieren?

10.01.2017, 11:16

10001000Nick1

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Mit Leibniz hat das eigentlich nichts zu tun. Eher mit dem Einschließungskriterium/Sandwich-Lemma.

Du könntest z.B. zwei Nullfolgen $\begin{eqnarray*} (a_n)_n, (b_n)_n \end{eqnarray*}$ angeben mit $\begin{eqnarray*} \cos(\frac{1}{a_n^m})=1, \cos(\frac{1}{b_n^m})=-1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ . Wenn zwei solche Folge existieren, kann der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0} \cos(\frac{1}{x^m}) \end{eqnarray*}$ nicht existieren.

10.01.2017, 11:22

Student 0815

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Ups, stimmt natürlich. Da war ich gedanklich noch bei den Reihen Forum Kloppe

Forum Kloppe

Bei den Nullfolgen, der cos(x) ist ja 1 bzw. -1 bei den geraden bzw. ungeraden vielfachen von pi.
sollte die Folge also die Form (z.B für cos(x)=1) $\begin{eqnarray*} a_n=1/(2k*pi) \end{eqnarray*}$ haben?

10.01.2017, 11:39

10001000Nick1

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Wir nennen den Folgenindex lieber $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ; das $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ist ja schon in der Aufgabe vergeben. Also $\begin{eqnarray*} a_k=\frac{1}{2k\pi} \end{eqnarray*}$ .

Du hast jetzt eine Folge gefunden mit $\begin{eqnarray*} \cos(\frac{1}{a_k})=1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ . D.h. $\begin{eqnarray*} m=1 \end{eqnarray*}$ .
Kannst du das verallgemeinern für einen beliebigen Exponenten $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ ?

10.01.2017, 11:57

Student 0815

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Die Folge $\begin{eqnarray*} cos (1/(a_k)^m \end{eqnarray*}$ sollte so aussehen: $\begin{eqnarray*} a_k=1/(2k*pi)^m \end{eqnarray*}$ sollte so aussehen, oder?

10.01.2017, 17:15

10001000Nick1

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Den Satz verstehe ich nicht. verwirrt

verwirrt

Du suchst eine Folge $\begin{eqnarray*} (a_k)_{k\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \cos(\frac{1}{a_k^m})=1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ (m ist fest).
Eine Möglichkeit dafür wäre, dass $\begin{eqnarray*} \frac{1}{a_k^m}=2k\pi \end{eqnarray*}$ gilt für alle $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ .

Und jetzt steht deine gesuchte Folge schon fast da.

10.01.2017, 17:35

Student 0815

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Entschuldigung falls ich zu unklar formuliert habe. unglücklich

unglücklich

Wäre die Folge dann $\begin{eqnarray*} a_k^m=1/((2k\pi) \end{eqnarray*}$ hoch (1/m)? (Leider habe ich den Dreh mit Latex noch nicht ganz raus)

10.01.2017, 17:38

10001000Nick1

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Fast richtig, wenn du auf der linken Seite noch den Exponenten $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ weglässt; du hast ja beide Seiten mit $\begin{eqnarray*} \frac 1m \end{eqnarray*}$ potenziert:

$\begin{eqnarray*} a_k=\frac{1}{(2k\pi)^\frac 1m}=\frac{1}{\sqrt[m]{2k\pi}} \end{eqnarray*}$

10.01.2017, 17:44

Student 0815

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Ah, stimmt geschockt

geschockt

Die zweite Folge kann ich wohl analog konstruieren.
Damit wären eigentlich alle Fragen geklärt. smile

smile

Zum Schluss: danke viel viel mal für Ihre Geduld und Ihre Hilfe, Sie waren wirklich sehr freundlich und hilfbereit. Danke Freude

Freude

10.01.2017, 17:57

10001000Nick1

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Gern geschehen. Wink

Wink

Übrigens ist es hier üblich, dass wir uns duzen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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