Grenzen für Selbstabbildung finden im R^n

11.01.2017, 18:56	Nord.Kind	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzen für Selbstabbildung finden im R^n Für den Banachschen Fixpunktsatz im R^n soll ich für die Funktionen $\begin{eqnarray} x_1=(1+x_2)^{0,5} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_2=x_1^{-3/2} \end{eqnarray}$ ein Bereich gefunden werden in denen diese eine Selbstabbildung darstellt. Die Frage ist nun, wie ich dies anstelle ohne Stundenlang Grenzen einzusetzen und diese im schlimmsten Fall immer wieder zu verschieben ohne eine Grenze zu finden. Es kann ja durchaus vorkommen, dass es keine Grenzen gibt in denen eine Selbstabbildung vorliegt. Im $\begin{eqnarray} R^1 \end{eqnarray}$ ist dies trivial zu lösen, im $\begin{eqnarray} R^n \end{eqnarray}$ möchte ich gerne einen eindeutigen Weg kennen, der mir im Falle der Existenz Grenzen für eine Selbstabbildung liefert. Mein Ansatz war folgender: Ich habe zuerst die x1 und x2 abgeleitet um zu schauen ab welchem Wert die Ableitung betragskleiner 1 ist. Hier habe ich dann eine Grenze gesetzt und geschaut ob diese Grenze brauchbar ist. war dies nicht der Fall habe ich sie verschoben bis sie brauchbar war. Es hätte aber durchaus sein können, dass es keine brauchbare Grenze gibt, was dann wiederum unnütze Arbeit bedeutet hätte ->etwas das man sich in einer zeitkritischen klausur nicht leisten kann. Deshalb möchte ich gerne wissen ob es einen clevereren Ansatz dazu gibt. Danke und beste Grüße

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