L1 und L2 Funktionen

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yellowman Auf diesen Beitrag antworten »
L1 und L2 Funktionen
Hallo zusammen, ich habe die Aufgabe:

Gebe je eine Funktion an mit

a) und und
b) und


Meine Idee:

b) Die Funktion ist in aber nicht in

(Ob man hier oder betrachtet macht keinen Unterschied?)

Da gilt ist sie kein Element aus

Um zu zeigen das sie Element aus ist müsste ich zeigen:

Das habe ich noch nicht.

a) Hier habe ich noch keine Idee. Kennt jemand eine nicht zu komplizierte Funktion die das erfüllt?

Danke!
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: L1 und L2 Funktionen
Das Beispiel stimmt. Aber ist ziemlich kompliziert. Ich schlage alternativ vor.

Den Sinus brauchst du nur, damit es in der 0 keine Singularität gibt. Das habe ich einfach knallhart auf die 0 verfrachtet. Es ist im Gegensatz zu deiner Funktion nicht mehr stetig, aber so kann man sich leichter Beispiele bauen. In der Art kann man auch recht leicht a) angeben, und für b) die konkreten Normen auch leicht ausrechnen.
yellowman Auf diesen Beitrag antworten »
RE: L1 und L2 Funktionen
Hallo, dass ist eine super Funktion. Den Nachweis das sie Element aus ist habe ich hinbekommen.

Jetzt noch zu der a)

Wie kann ich mir damit denn eine Funktion basteln die in aber nicht in ist?

Danke!
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: L1 und L2 Funktionen
aber nicht heißt die Funktion hat eine Singularität, an der sie (im Betrag) gegen unendlich strebt. Langsam genug, dass die Fläche darunter endlich ist, aber nicht mehr wenn man sie quadriert. Du solltest eine große Menge von sehr `simplen' Funktionen kennen, die wenigstens das mit der Singularität erfüllen.

Also versuche eine Funktion mit Singularität in der 0 zu finden, und dass sie außerhalb des Intervalls immer 0 ist. In gewisser Weise sehr ähnlich zu meinem vorigen Beispiel.
yellowman Auf diesen Beitrag antworten »
RE: L1 und L2 Funktionen
Die Funktion ist auf jeden Fall integrabel allerdings auch .



Was muss ich denn noch beachten?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: L1 und L2 Funktionen
Die Funktion ist nicht in . Aber die Form sieht schon einmal gut aus. Wie kann man den mittleren denn modifizieren, s.d. sich etwas anders verhält. Ein Parameter könnte hilfreich sein.
 
 
yellowman Auf diesen Beitrag antworten »
RE: L1 und L2 Funktionen
Stimmt, ich habe es nochmal nachgerechnet. Wenn ich einen Parameter einführe so erhalte ich:



Die Funktion ist nun integrabel.Alleridngs auch integrabel wenn ich das richtig überblicke?

Danke!
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: L1 und L2 Funktionen
Stimmt. Also versuche den Parameter anders zu benutzen. Schreib dir mal die L^1 und L^2 Norm zum Quadrat deines ursprünglichen g auf. (die Norm ist genau dann endlich wenn das Quadrat davon endlich ist.)

Da siehst du schön welchen Effekt die Normen auf die Funktion hat, und wo das alpha hingehört.
yellowman Auf diesen Beitrag antworten »
RE: L1 und L2 Funktionen
Hmm ... keine Ahnung wie ich da einen Parameter einbauen soll. Ich habe jetzt durchprobiert: und ... Andere Möglichkeiten der Kombination gibt es nicht ...
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: L1 und L2 Funktionen
Es ist genau das letzte (bloss mit Betrag um x, da wir negative Werte zulassen). Es bleibt alpha nur noch so zu wählen, so dass g in L^1 aber nicht L^2 ist.
yellowman Auf diesen Beitrag antworten »
RE: L1 und L2 Funktionen
Ok, damit die Funktion in liegt muss gelten

Wie soll ich denn hier den Doppelbetrag handhaben?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: L1 und L2 Funktionen
Da kannst du den äußeren Betrag weglassen. Da der Integrand gerade ist, gilt dann
.
yellowman Auf diesen Beitrag antworten »
RE: L1 und L2 Funktionen
Alles klar dann erhalte ich:

für

Für die L2 Integration gilt hier:

Hier kann ich vermutlich nicht einfach den Betrag weglassen?


Die Funktion müsste dann wohl lauten:

Danke!
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: L1 und L2 Funktionen
Das ist ein uneigentliches Riemann-Integral. Bei der 0 hast du eine Singularitaet. Die Grenze hast du komplett ausgelassen. Es sollte fuer divergieren und sonst konvergieren. Rechne also noch einmal nach.

Und die zweite Rechnung geht analog mit Betraegen "weglassen'. Man bekommt genau das vorige, wenn man durch ersetzen wuerde. Aber die Uebung scheint dir nicht zu schaden. Dort bekommst du analog zu oben ein Intervall fuer alpha, indem das Integral existiert und dort wo es nicht tut.

Es bleibt ein alpha zu suchen, so dass das erste konvergiert, das zweite nicht.
yellowman Auf diesen Beitrag antworten »
RE: L1 und L2 Funktionen
Hallo, dann erhalte ich das Integral:

Wo rechne ich denn hier Mist?

Bei dem zweiten Integral lasse ich die Wurzel einmal weg da es so etwas einfacher zu schreiben ist.



Danke!
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: L1 und L2 Funktionen
Mutig a und alpha als Variablen zu benutzen, ohne sie verwechseln zu wollen Big Laugh

Wie ich vorhin schon ansprach gibt gibt es bei unterschiedlcihes Verhalten. Ist , so ist . Schreiben wir den einzigen von a ahaengigen Teil um:
. Jetzt ist die Frage was passiert wenn klein wird.

Im anderen Fall (das isst ) setzen wir . Dann ist . Auch hier die Frage was passiert wenn a gegen 0 geht.

Etwas anschaulicher: Ist sind wir in dem letzten Fall, und . Es ist also fuer gegen 0 zu untersuchen.
Im anderen Fall nehmen wir mal . Dann ist und damit zu untersuchen. Die beiden Beispielfaelle sind repraesentativ fuer ihre jeweiligie Kategorie. (Ich hatte netterweise oben schon gesagt was das jeweilige Ergebnis ist).
yellowman Auf diesen Beitrag antworten »

Keine Ahnung aber ich sehe nicht warum man nicht bei nicht für die Null "einsetzen" darf. Dann würde übrig bleiben

Das Gleiche bei der L2 Integration. Da wäre die Funktion ebenfalls in L2. Ob das wirklich die einfachste Funktion ist die man sich suchen kann um eine Funktion anzugeben die in L1 aber nicht in L2 ist bezweifle ich langsam auch da es - für mich zumindest - alles andere als Offensichtlich ist.

Danke!
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn behauptest du gerade . Wenn behauptest du gerade .

Um die Geschichte mal zuende zu bringen. Jedes erfüllt die gesuchte Eigenschaft. Und leichtere Funktionen sind mir nicht bekannt. Zumal die auszuwertetenden Integrale gerne mal Übungsaufgabe im ersten Semester sind.

Ich rechne es dir mal für für L^1 vor. Es ist
.
yellowman Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar, jetzt habe ich es verstanden. Die Bedingung für folgt aus der Untersuchung für und die Bedingung für folgt aus der Untersuchung für .
Jetzt habe ich es hinbekommen.

Vielen Dank und Grüße!
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Genau Freude

Mit einer geeigneten Wahl von kann man dann zeigen, dass für . Ebenso gilt es für nicht, wie man mit einer leichten Änderung des ersten Beispiels zu Anfang zeigen kann.
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