Wahrscheinlichkeiten P(A), P(B)

12.01.2017, 21:32	mathona	Auf diesen Beitrag antworten »
Wahrscheinlichkeiten P(A), P(B) Meine Frage: Hallo, ich sitze gerade an dieser Aufgabe und komme nicht weiter: Es gelten die Wahrscheinlichkeiten P(A) = 0,8 und P(B)= 0.6 1. Begründe, dass P(AoderB) größer gleich 0,8 gilt. 2.Begründe, dass P(AundB)größer gleich 0,4 gilt Es wäre wirklich toll, wenn mir jemand helfen könnte! Am besten mit Lösungsweg, damit ich das auch nachvollziehen kann. Vielen Dank Meine Ideen: P(A?B)= P(A)+ P(B)-P(AundB) und weiter???
13.01.2017, 07:13	Ulrich Ruhnau	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wahrscheinlichkeiten P(A), P(B) Zu 1: $\begin{eqnarray} P(A\lor B)=P(A)+P(B)-P(A\land B) \end{eqnarray}$ ist schon richtig. Es gilt aber auch $\begin{eqnarray} P(B)=P(B\land \bar{A})+P(B\land A) \end{eqnarray}$ . Wenn man letzteres umstellt, hat man $\begin{eqnarray} P(B)-P(B\land A)=P(B\land \bar{A})\geq0 \end{eqnarray}$ . Wenn man jetzt die obere Gleichung noch so umstellt, daß man sie in die untere Ungleichung einsetzen kann, dann erhält man: $\begin{eqnarray} P(A\lor B)-P(A)=P(B)-P(A\land B)\geq0 \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} P(A\lor B)-P(A)\geq0 \end{eqnarray}$ bzw.: $\begin{eqnarray} P(A\lor B)\geq P(A)=0.8 \end{eqnarray}$
13.01.2017, 07:31	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube, ein Venn-Diagramm und die Vorstellung von $\begin{align} P(A) \end{align}$ als Flächeninhalt von $\begin{align} A \end{align}$ könnten hilfreich bei der Lösung sein.
13.01.2017, 07:40	Ulrich Ruhnau	Auf diesen Beitrag antworten »
@Leopold Wie zeichnet man denn am leichtesten ein Venn-Diagramm, das man hier einstellt?
13.01.2017, 14:12	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
... indem man es mit irgendeinem Zeichenprogramm zeichnet und hier hochlädt. [attach]43605[/attach]
13.01.2017, 15:04	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Darstellung von Ulrich Ruhnau wirkt ein wenig überladen. $\begin{align} A\cup B \end{align}$ kann man als disjunkte Vereinigung $\begin{align} A \cup (B\setminus A) \end{align}$ darstellen, mit der folgt $\begin{align} P(A\cup B) = P(A) + P(B\setminus A) \geq P(A) \end{align}$ schlicht wegen $\begin{align} P(B\setminus A)\geq 0 \end{align}$ , fertig. Für 2) nutze man $\begin{align} P(A\cap B) = P(A)+P(B)-P(A\cup B) \geq P(A)+P(B)-1 \end{align}$ , letztere Abschätzung folgt aus $\begin{align} P(A\cup B)\leq 1 \end{align}$ .
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