Ungleichung mit Restglied vom Taylorpolynom beweisen

13.01.2017, 11:26	st 97	Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichung mit Restglied vom Taylorpolynom beweisen Moin [attach]43602[/attach] ich komme bei aufgabe c nicht weiter. Ich habe die 4 Ableitung bestimmt und das lagransche restglied bestimmt(siehe foto) . Nun muss ich ja die Ungleichung beweisen. Dann kann ich ja die 4 ableitung von f(x) in das restglied einsetzen. und wie macht man denn weiter? Ich hätte jetzt f(x) in die ungleichung eingesetzt nur weiß ich nicht ob das so viel bringt. lg
13.01.2017, 15:31	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, damit die ganze Sache hier vernünftig lesbar wird (und als kleine LaTeX-Lehrstunde): $\begin{align} f(x) &= \frac{1}{2}\ln(1+x)-\frac{1}{2}\ln(1-x)\\ f'(x) &= \frac{1}{2(1+x)}+\frac{1}{2(1-x)}\\ f''(x) &= -\frac{1}{2(1+x)^2}+\frac{1}{2(1-x)^2}\\ f'''(x) &= \frac{1}{(1+x)^3}+\frac{1}{(1-x)^3}\\ f''''(x) &= -\frac{3}{(1+x)^4}+\frac{3}{(1-x)^4} = \frac{24x(x^2+1)}{(1-x^2)^4} \end{align}$ Für das Rangrange-Restglied $\begin{align} R_2(x) \end{align}$ benötigen wir nur die dritte Ableitung. Die vierte Ableitung ist dafür da, das Monotonieverhalten von $\begin{align} f''' \end{align}$ zu bestimmen: Wir erkennen $\begin{align} f''''(x)>0 \end{align}$ für alle $\begin{align} 0<x<1 \end{align}$ , d.h. monoton wachsend, sowie $\begin{align} f''''(x)<0 \end{align}$ für alle $\begin{align} -1<x<0 \end{align}$ , d.h. monoton fallend. Da zudem $\begin{align} f'''(x)>0 \end{align}$ im gesamten Intervall $\begin{align} (-1,1) \end{align}$ gilt, werden die Maxima im Intervall $\begin{align} [-1+\varepsilon,1-\varepsilon] \end{align}$ am Rand angenommen. Es ist daher $\begin{align} 0 < f'''(\xi) < \max\{f'''(-1+\varepsilon),f'''(1-\varepsilon)\} = f'''(1-\varepsilon) = \frac{1}{(2-\varepsilon)^3}+\frac{1}{\varepsilon^3} \leq \frac{2}{\varepsilon^3} \end{align}$ für alle $\begin{align} \xi\in (-1+\varepsilon,1-\varepsilon) \end{align}$ . Damit kannst du nun das Restglied $\begin{align} R_2(x) = \frac{f'''(\xi)}{3!}\cdot x^3 \end{align}$ für $\begin{align} x\in [-1+\varepsilon,1-\varepsilon] \end{align}$ betragsmäßig nach oben abschätzen.
13.01.2017, 16:18	st 97	Auf diesen Beitrag antworten »
Super! Vielen Dank

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