Quantoren

13.01.2017, 20:46	Einstein1879	Auf diesen Beitrag antworten »
Quantoren Guten Abend, folgende Aussagen sollen mithilfe von Quantoren formuliert werden: 1) Das Quadrat einer reellen Zahl ist nie negativ. $\begin{eqnarray} \forall a \in \mathbb R : a^2>0 \end{eqnarray}$ 2) Wenn eine natürliche Zahl n die zwei natürlichen Zahlen a und b teilt, dann teilt sie auch den Betrag der Differenz. 3) Wenn das Quadrat n^2 einer natürlichen Zahl n gerade ist, dann ist auch n selbst gerade. Die zweite und dritte Aussage bereiten mir Probleme.
13.01.2017, 21:01	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, beim ersten brauchst du ein $\begin{eqnarray} \geq \end{eqnarray}$ , nicht nur ein $\begin{eqnarray} > \end{eqnarray}$ . Tipp für 2 und 3. Eine wenn, dann Aussage ist eine Implikation. Du musst also "n teilt a und n teilt b", sowie "n teilt \|a-b\|" formalisieren und diese dann mit $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ verknüpfen. Ähnlich für 3.
13.01.2017, 21:48	Einstein1879	Auf diesen Beitrag antworten »
@Guppi 12, ich danke dir erstmal. Da Null nicht negativ ist, muss auch das Gleichheitszeichen mit dazu, wie du schon sagtest. Muss ich für die Implikation die Bedeutung aus der Aussagenlogik verwenden? $\begin{eqnarray} A \Rightarrow B \Leftrightarrow (\neg B \Rightarrow \neg A) \end{eqnarray}$
13.01.2017, 21:52	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Ne eigentlich nicht. Ich geb dir mal das Grundgerüst für die 2) $\begin{eqnarray} \forall n\in\mathbb N ~(A(n)\Rightarrow B(n)) \end{eqnarray}$ . Das bedeutet soviel wie: Für jede natürliche Zahl $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} A(n) \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} B(n) \end{eqnarray}$ oder alternativ: Wenn eine natürliche Zahl $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ die Aussage $\begin{eqnarray} A(n) \end{eqnarray}$ erfüllt, dann erfüllt sie auch $\begin{eqnarray} B(n) \end{eqnarray}$ . Du brauchst bloß noch $\begin{eqnarray} A(n),B(n) \end{eqnarray}$ richtig wählen.
16.01.2017, 12:24	Einstein1879	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich komme leider mit diesem Tipp nicht weiter. Richtig ist doch, dass zu der Aussage A impliziert B die äquivalente Aussage ist nicht B impliziert nicht A, oder? Wenn n ungerade ist, dann kann man dies darstellen als $\begin{eqnarray} (2k+1) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ ist Element von den natürlichen Zahlen. Somit gilt $\begin{eqnarray} n^2=(2k+1)^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+k)+1 \end{eqnarray}$ . Daraus folgt, egal ob $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ eine gerade oder ungerade natürliche Zahl ist, dass $\begin{eqnarray} n^2 \end{eqnarray}$ immer ungerade ist. Dann könnte ich das doch wie folgt schreiben: $\begin{eqnarray} n=2k+1 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} k \epsilon \mathbb N \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n^2=2(2k^2+1)+1 \end{eqnarray}$
16.01.2017, 12:49	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde bei deiner Variante halt sagen, dass das die Aufgabe verfehlt. Du möchtest eine Aussage hinschreiben, aus der die zu zeigende leicht folgt, aber es ist nicht die selbe Aussage. Wenn sich $\begin{eqnarray} n=2(2k^2+2k)+1 \end{eqnarray}$ schreiben lässt, so ist dies nicht die Aussage, dass $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ ungerade ist, sondern dass $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ das Quadrat einer ungeraden Zahl ist. Das eine impliziert zwar das andere, aber nicht umgekehrt, also: Aufgabe verfehlt. Ich zeig dir mal an 3) wie es geht, dann kannst du 2) selbst machen: $\begin{eqnarray} \forall_{n\in\mathbb N}~[(\exists_{k\in\mathbb N}~n^2=2k)\Rightarrow(\exists_{j\in\mathbb N}~n=2j)] \end{eqnarray}$ Übersetzt: Für alle natürlichen n gilt die folgende Aussage: Falls n^2 sich als 2k schreiben lässt, lässt sich n als 2j schreiben. Ich weiß nicht, warum du es dir da so kompliziert machst. Übrigens wäre auch $\begin{eqnarray} \forall_{n\in\mathbb N}~[(\exists_{k\in\mathbb N}~n^2=2k)\Rightarrow(\exists_{k\in\mathbb N}~n=2k)] \end{eqnarray}$ möglich. Das k hat seinen Gültigkeitsbereich nur in der danach folgenden Aussage, kann also wiederverwendet werden.
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16.01.2017, 14:13	Einstein1879	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich danke dir erstmal sehr. Jetzt wo ich es aufgeschrieben sehe, sieht es recht einfach aus. Ich versuche das jetzt nochmal mit meinen Worten auszudrücken. Man nimmt eine beliebige natürliche Zahl, quadriert diese und wenn das Ergebnis durch zwei geteilt wieder eine natürliche Zahl ergibt und diese selbst ein Vielfaches von 2 ist, dann folgt die Behauptung.

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