Gleichmäßige Konvergenz

14.01.2017, 14:17

Connor

Gleichmäßige Konvergenz

Meine Frage:
Hi, wir haben $\begin{eqnarray*} f_{n} : [0,\infty) \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ gegeben durch

$\begin{eqnarray*} f_{n}(x) = \frac{x^{n^+1} + 1}{2x^{n} + 1}, n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ .

Nun sollen wir überprüfen, auf welchen der folgenden Intervalle fn gleichmäßig konviergiert:

$\begin{eqnarray*} [0,1], [0, \frac{1}{2}], [2,\infty) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich bin mir an sich unsicher in dem Thema, und würde gerne erstmal das erste Intervall bearbeiten. Auf jeden Fall ist $\begin{eqnarray*} f_{n}(0) = 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_{n}(1) = 2/3 \end{eqnarray*}$ . Wie ich das verstehe müsste ich jetzt zeigen, Dass sich der Grenzwert mit steigendem x immer weiter an die 2/3 annähert. $\begin{eqnarray*} x^{n+1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 2x^{n} \end{eqnarray*}$ gehen bei $\begin{eqnarray*} x < 1 \end{eqnarray*}$ gegen 0. Aber wie genau soll ich nun den gleichmäßigen Abfall des Grenzwertes zeigen?

Ich danke für jede Hilfe.

14.01.2017, 17:47

005

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RE: Gleichmäßige Konvergenz
Das erste, was Du machen musst, ist $\begin{eqnarray*} f_n(x) \end{eqnarray*}$ auf punktweise Konvergenz fuer $\begin{eqnarray*} x\in[0,\infty] \end{eqnarray*}$ zu untersuchen. Das gibt Dir die Grenzfunktion $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ . Das hast Du bisher nur sehr punktuell gemacht. Danach kann man weitersehen.

14.01.2017, 18:00

Connor

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RE: Gleichmäßige Konvergenz
Ist nicht genau das Punktweise Konvergenz?
In der Zwischenzeit habe ich jetzt noch herausgefunden, dass $\begin{eqnarray*} x < 1 \to 1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} 1 < x < 2 \to x/2 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x = 2 \to 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x > 2 \to \infty \end{eqnarray*}$ . Wie soll man jetzt weiter machen?

14.01.2017, 18:21

005

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RE: Gleichmäßige Konvergenz
Meine Grenzfunktion lautet

$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases}1&\text{fuer $0\le x<1$,}\\ \frac{2}{3}&\text{fuer $x=1$,}\\ \frac{x}{2}&\text{fuer $x>1$.}\end{cases} \end{eqnarray*}$

Fuer $\begin{eqnarray*} x>1 \end{eqnarray*}$ hab ich $\begin{eqnarray*} x^n \end{eqnarray*}$ gekuerzt:

$\begin{eqnarray*} f_n(x)=\frac{x+x^{-n}}{2+x^{-n}}. \end{eqnarray*}$

14.01.2017, 18:50

Connor

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RE: Gleichmäßige Konvergenz
Ok , das verstehe ich alles.
Kann man nun daraus folgern, dass Die Funktion z.B. auf dem zweiten Intervall stetig ist, da es immer den Funktionswert 1 hat?

14.01.2017, 19:00

005

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RE: Gleichmäßige Konvergenz
Ja, kann man. Und was genau moechtest Du daraus schliessen?

14.01.2017, 19:14

Connor

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RE: Gleichmäßige Konvergenz
Kann man nicht aus der Stetigkeit die gleichmäßige Konvergenz folgern? Wenn nicht wie soll man sie dann jetzt für die Intervalle beweisen/belegen, wenn man die punktweise Konvergenz hat?

14.01.2017, 19:36

005

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RE: Gleichmäßige Konvergenz
Nein, kann man nicht. Es gibt allerdings einen Satz, der besagt, dass eine Folge stetiger Funktionen bei gleichmaessiger Konvergenz eine stetige Grenzfunktion hat. Den kannst Du fuer eines der Intervalle verwenden. Beim Rest musst Du was rechnen. Erklaere doch Du mal, was Du Dir unter gleichmaessiger Konvergenz ueberhaupt so vorstellst.

14.01.2017, 19:43

Connor

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RE: Gleichmäßige Konvergenz
Für alle $\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} | f_{n}(x) - f(x) | < \epsilon \end{eqnarray*}$ , für alle $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ . Für fn müsste ich dann ja je nachdem eine der 3 errechneten Funktionen einsetzte, aber was genau für f(x)?

14.01.2017, 20:03

005

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RE: Gleichmäßige Konvergenz
$\begin{eqnarray*} f_n(x) \end{eqnarray*}$ steht in der Aufgabe. Du hast es selber gepostet. $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ ist die Grenzfunktion. Die steht in voller Schoenheit in einer meiner Antworten. Du verwendest natuerlich nur den Zweig, der im zu betrachtenden Intervall gilt.

Ansonsten hast Du die Definition verstuemmelt. Kannst Du in Worten beschreiben, was gleichmaessige Konvergenz sein soll?

14.01.2017, 20:10

Connor

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RE: Gleichmäßige Konvergenz
Aber z.B. bei $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ hätte man ja zwei Gleichungen, die zutreffen würden. Welche müsste man nun nehmen?
Ich stelle mir gleichmäßige Konvergenz gerade als Stetigkeit der Grenzfunktionen vor.

14.01.2017, 22:10

005

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RE: Gleichmäßige Konvergenz

Zitat:

Original von Connor
Aber z.B. bei $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ hätte man ja zwei Gleichungen, die zutreffen würden. Welche müsste man nun nehmen?

Beide. Die eine fuer [0,1), die andere fuer {1}. Ausserdem ist das der Fall, den man ohne Rechnung loesen kann.

Zitat:

Ich stelle mir gleichmäßige Konvergenz gerade als Stetigkeit der Grenzfunktionen vor.

Wie kommst Du darauf?? Da besteht keinerlei Zusammenhang.

Gleichmaessige Konvergenz bedeut, dass jeder $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ -Schlauch um den Graphen der Grenzfunktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ die Graphen fast aller $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ komplett enthaelt.

Formelmaessig: Man bekommt $\begin{eqnarray*} |f_n(x)-f(x)| \end{eqnarray*}$ fuer alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ (d.h. unabhaengig von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ) beliebig klein, wenn man nur $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gross genug waehlt.

Eine typische Vorgehensweise, um gleichmaessige Konvergenz nachzuweisen, ist, eine Abschaetzung der Art

$\begin{eqnarray*} |f_n(x)-f(x)|\le a_n \end{eqnarray*}$

zu produzieren, in der $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ eine von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ unabhaengige Nullfolge ist. Das empfehle ich Dir hier auch.

15.01.2017, 00:03

Connor

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RE: Gleichmäßige Konvergenz
Habs danke.
Auf [0,1] konvergiert es nicht gleichmäßig, auf den anderen schon smile

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Gleichmäßige Konvergenz

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