Irreduzibles Polynom

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marcelinho Auf diesen Beitrag antworten »
Irreduzibles Polynom
Hallo!

Ich habe mit folgendem Polynom meine Schwierigkeiten:



Dabei soll ich zeigen, dass dieses Polynom in Q[X] irreduzibel ist.

Eisenstein hilft hier natürlich nicht weiter..
Zu zeigen, dass es keine Möglichkeit gibt, f(X) = p(X)q(X) aufzuteilen, mit Polynomen von Grad 1 und Grad 2 scheint mir äußerst kompliziert in Q.

Über die Ableitung und Monotonie würde es sicherlich gehen, doch bin ich mir eher unsicher, ob wir die Ableitung bestimmen "dürfen", da wir dies bisher nicht gemacht haben.

Hat jemand einen Ansatz für mich?
Vielen Dank!
tatmas Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Zitat:
Zu zeigen, dass es keine Möglichkeit gibt, f(X) = p(X)q(X) aufzuteilen, mit Polynomen von Grad 1 und Grad 2 scheint mir äußerst kompliziert in Q.

Der Schein trügt dich.
Das ist gleichbedeutend damit zu zeigen, dass es keine rationale Nullstelle gibt, was nicht sonderlich schwer ist.


Zitat:
Über die Ableitung und Monotonie würde es sicherlich gehen,

Ich sehe nicht was das hier in den rationalen Zahlen bringen soll.
marcelinho Auf diesen Beitrag antworten »

Also nehme ich an, dass zwei Polynome p(X) und q(X) existieren, sodass p(X)q(X) = f(X).

Dann hätte ich:

und damit ein Gleichungssystem:



Leider komme ich an dieser Stelle nicht weiter..
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