Matrix bzgl Basen

15.01.2017, 11:41

alex96

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Matrix bzgl Basen

Hey,
ich habe eine Aufgabe, wo ich nicht wirklich voran komme. Ich hoffe ihr könnt mir helfen.

Sei $\begin{eqnarray*} V= \mathbb R^{2x2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} E= (E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22} ) \end{eqnarray*}$ eine Basis von V, wobei die $\begin{eqnarray*} E_{ij} \end{eqnarray*}$ die Standardmatrizen bezeichnen. Ferner seien $\begin{eqnarray*} T: V->V , A|-> A^{T} \end{eqnarray*}$ die Transposition und Spur: $\begin{eqnarray*} V -> \mathbb R \end{eqnarray*}$ die Spurabbildung.

(a) Bestimme $\begin{eqnarray*} M(T,E,E) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} M(Spur, E, (1)) \end{eqnarray*}$
(b) Zeige, $\begin{eqnarray*} M(Spur, E, (1))M(T,E,E) = M(Spur,E,(1)) \end{eqnarray*}$

*bei jedem $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ ist das E mit Unterstrich gemeint*

Mich verwirrt hier etwas, dass ich keine allgemeine Abbildungsvorschrift und Matrix, aber eine Spur habe.
Ich hoffe ihr könnt mir bei einem Ansatz für die (a) helfen smile

smile

15.01.2017, 12:08

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RE: Matrix bzgl Basen
In den Spalten der Matrix stehen die Bilder der Basisvektoren. (Das kann man nicht oft genug sagen.)

15.01.2017, 12:40

alex96

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heißt das dann dass ich die Spalten $\begin{eqnarray*} E_{11} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ,... so schreiben kann?

Inwieweit hilft mir das weiter? Ich glaube ich stehe hier gerade irgendwie auf dem Schlauch

15.01.2017, 12:54

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Wie hängt die Anzahl der Elemente in einer Spalte mit der Dimension der Vektrorräume zusammen?
Kann hier überhaupt eine Spalte mit drei Elementen auftreten?

Betrachten wir mal die Transposition T: Das Bild des ersten Basisvektors ist $\begin{eqnarray*} T(E_{11})=E_{11}=\textcolor{red}{1}\cdot E_{11}+\textcolor{red}{0}\cdot E_{12}+\textcolor{red}{0}\cdot E_{21}+\textcolor{red}{0}\cdot E_{22} \end{eqnarray*}$
Also ist die erste Spalte $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1\\0\\0\\0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

15.01.2017, 13:19

alex96

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ah okay.... ist dann die zweite Spalte $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
die dritte Spalte $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und die vierte Spalte $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

15.01.2017, 13:33

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Nein, das ist leider alles falsch.
Was ist $\begin{eqnarray*} T(E_{12}) \end{eqnarray*}$ ?

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15.01.2017, 13:41

alex96

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$\begin{eqnarray*} T(E_{12}) = 0 E_{11} + 0 E_{12} + 1 E_{21} + 0 E_{22} \end{eqnarray*}$

ergibt sich dann für die zweite Spalte $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

15.01.2017, 13:52

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Freude

15.01.2017, 14:25

alex96

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dann habe ich für die dritte Spalte $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und für die vierte Spalte $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

Wie muss ich dann weiter machen?

15.01.2017, 14:27

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Damit hast du die Bilder aller Basisvektoren berechnet, also die gesuchte Matrix. Fertig

15.01.2017, 14:31

alex96

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ja das weiß ich smile

smile

danke für deine Hilfe dabei.

ich muss aber auch noch $\begin{eqnarray*} M(Spur,E,(1)) \end{eqnarray*}$ bestimmen und weiß nicht, wie ich das angehen soll

15.01.2017, 17:57

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Genauso!

16.01.2017, 20:02

alex96

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aber ich habe hier doch gar keine Abbildungsvorschrift oder?
Wie soll ich dann genau die Gleichung wie oben aufstellen? ...Und was genau sagt die 1?

Tut mir leid für meine ganzen Fragen...:/

16.01.2017, 22:51

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Die Abbildung heißt jetzt eben nicht mehr $\begin{eqnarray*} T: V\to V, A\mapsto A^T \end{eqnarray*}$ sondern $\begin{eqnarray*} Spur:V \to \mathbb R, A\mapsto Spur(A) \end{eqnarray*}$ und 1 ist die Basis des Vektorraums R

17.01.2017, 11:13

alex96

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aber jede matrix hat doch die Spur zwei.
Muss ich dann versuchen mit $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ 1 darzustellen? Und wenn ja, wie kann ich mit verschiedenen Matrizen eine Zahl darstellen?

17.01.2017, 19:23

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Zitat:

aber jede matrix hat doch die Spur zwei.

Die Matrix $\begin{eqnarray*} E_{21}=\begin{pmatrix}0&0\\1&0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ hat doch Spur 0+0=0 verwirrt

verwirrt

Den Rest deines Beitrags verstehe ich leider nicht.

Wie auch immer
Das Bild des dritten Basisvektors ist $\begin{eqnarray*} Spur(E_{21})=0=\textcolor{red}{0}\cdot 1 \end{eqnarray*}$ Die schwarze Eins ist das (einzige) Basiselement des Vektorraumes $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$
Also ist die dritte Spalte $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Du siehst, es geht genau wie bei der Abbildung T.

17.01.2017, 21:32

alex96

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danke für deine Antwort.

ja ich habe völlig falsch gedacht und weiß selbst nicht genau was. So wie du meintest, habe ich es auch eigentlich immer gemacht und gelernt ...war gestern anscheinend nicht mein bester Tag.

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