Unstetigkeit zeigen

15.01.2017, 15:50

Prothanus

Unstetigkeit zeigen

Guten Abend,
Ich soll zeigen, dass es keine stetige Funktion f: $\begin{eqnarray*} \mathbb R \mapsto \mathbb R \end{eqnarray*}$ gibt mit der Eigenschaft :
Zu jedem $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ gibt es genau zwei Zahlen $\begin{eqnarray*} x,y mit f(x) = f(y) = a \end{eqnarray*}$

Meine Idee wäre es nun mit einem Widerspruchsbeweis zuzeigen, dass keine Stetigkeit vorliegt.

Annahme f sei stetig
Sei $\begin{eqnarray*} | y-x | < \delta \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} | f(y) - f(x) | = | a - a | = 0 < \epsilon \end{eqnarray*}$

Aber das wäre je kein Widerspruch zur Annahme oder ?
Würde mich über Hilfe & Ansätze freuen smile

Gruß Proth.

15.01.2017, 16:01

10001000Nick1

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Mit dem $\begin{eqnarray*} \varepsilon-\delta \end{eqnarray*}$ -Kriterium wirst du nicht weiterkommen.

Versuch mal einen Widerspruchsbeweis mit dem Zwischenwertsatz.

15.01.2017, 16:02

Clearly_wrong

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Nimm an, es gäbe eine Funktion mit dieser Eigenschaft. Seien $\begin{align*} a<b\in\mathbb R \end{align*}$ die zwei Nullstellen von $\begin{align*} f \end{align*}$ . Nimm mal an, $\begin{align*} f \end{align*}$ nehme zwischen $\begin{align*} a,b \end{align*}$ positive Werte an. Kann es dann außerhalb von $\begin{align*} [a,b] \end{align*}$ noch positive Werte geben?

Nachtrag: Ich ziehe mich zurück.

15.01.2017, 16:31

Prothanus

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Zitat:

Original von 10001000Nick1
Mit dem $\begin{eqnarray*} \varepsilon-\delta \end{eqnarray*}$ -Kriterium wirst du nicht weiterkommen.

Versuch mal einen Widerspruchsbeweis mit dem Zwischenwertsatz.

Okey, danke für Tipp. Ich bin sogar auf ein Ergebnis gekommen. Also der Zwischenwertsatz besagt ja, dass man auf einer stetigen reellen Funktion f: [a,b] im Intervall $\begin{eqnarray*} u \in [ f(a), f(b) ] \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} c \in [a,b] \end{eqnarray*}$ finden kann mit f(c) = u , wenn $\begin{eqnarray*} f(a) \leq f(b) \end{eqnarray*}$ ist.

Wenn ich jetzt mein Intervall u so wählen, dass $\begin{eqnarray*} u \in [f(x), f(y) ] \end{eqnarray*}$ bzw daraus folgt : $\begin{eqnarray*} u \in [a,a] \end{eqnarray*}$ . Mein c wäre dann ja im Intervall $\begin{eqnarray*} [x,y] \end{eqnarray*}$ .

Mit dem Zwischenwertsatz würden dann ja folgen , dass f(c) = a . Im Intervall von c liegen aber mehr als 2 Zahlen. Dies wäre ein Widerspruch zur Bildungsvorschrift. Daher ist f nicht stetig.
Wäre dies sofern richtig ? smile

Danke für deine / eure Hilfe Big Laugh

Auf den Zwischenwertsatz wäre ich so ohne weiteres nicht gekommen, weil ja kein Intervall angegeben war Augenzwinkern

Gruß Proth.

15.01.2017, 16:41

10001000Nick1

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Den Zwischenwertsatz auf zwei Werte $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x)=f(y) \end{eqnarray*}$ anzuwenden, ist nicht sonderlich hilfreich; denn er sagt dir ja dann nur, dass es ein $\begin{eqnarray*} c\in[x,y] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(c)=f(x) \end{eqnarray*}$ gibt, was aber sowieso klar ist. (Man wähle einfach $\begin{eqnarray*} x=c \end{eqnarray*}$ .)

Den Ansatz hat Clearly_wrong schon geliefert:

Zitat:

Original von Clearly_wrong
Nimm an, es gäbe eine Funktion mit dieser Eigenschaft. Seien $\begin{align*} a<b\in\mathbb R \end{align*}$ die zwei Nullstellen von $\begin{align*} f \end{align*}$ . Nimm mal an, $\begin{align*} f \end{align*}$ nehme zwischen $\begin{align*} a,b \end{align*}$ positive Werte an. Kann es dann außerhalb von $\begin{align*} [a,b] \end{align*}$ noch positive Werte geben?

Nach Voraussetzung hat $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ genau zwei Nullstellen, diese sind $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ . Kann jetzt $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ außerhalb von $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ noch einen Vorzeichenwechsel haben?

15.01.2017, 16:54

Prothanus

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Zitat:

Original von 10001000Nick1

Kann jetzt $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ außerhalb von $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ noch einen Vorzeichenwechsel haben?

Naja wenn du Funktion genau 2 Nullstellen hat, dann kann es keinen weiteren Vorzeichenwechsel außerhalb des Intervalls $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ geben, ohne die Existenz einer weiteren Nullstelle.
Aber was bedeutet das für meine Stetigkeit der Funktion ?

15.01.2017, 17:01

10001000Nick1

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Genau, das folgt aus dem Zwischenwertsatz.

Außerdem kann $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , wie oben von Clearly_wrong angedeutet, außerhalb von $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ keine positiven Werte annehmen, wenn die Funktion auf $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ positiv ist.

Das kannst du auch mit dem Zwischenwertsatz zeigen.
(Wenn du keine Idee dazu hast, mach dir eine Skizze, wie ein solches $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ungefähr aussehen müsste. Und überlege dann, wie du einen Widerspruch zu der Voraussetzung zeigen kannst, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ jeden Wert genau zweimal annimmt.)

15.01.2017, 17:12

Prothanus

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Zitat:

Original von 10001000Nick1

(Wenn du keine Idee dazu hast, mach dir eine Skizze, wie ein solches $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ungefähr aussehen müsste. Und überlege dann, wie du einen Widerspruch zu der Voraussetzung zeigen kannst, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ jeden Wert genau zweimal annimmt.)

Theoretisch wäre doch ; - x² + 2 genau eine solche Funktion, die jeden Wert von f genau zweimal annimmt. Ausnahme ist in dem Fall ja die Stelle f(x) = 2, die nur einmal angenommen wird (globales Maximum bzw. Maximum) . Jetzt müsste ich nur noch überlegen, wie ich genau dies mit dem Zwischenwertsatz zeigen kann.

15.01.2017, 17:15

10001000Nick1

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Dann verrate mir mal, an welchen beiden Stellen $\begin{eqnarray*} f(x)=-x^2+2 \end{eqnarray*}$ den Funktionswert 10 hat. verwirrt

Schließlich soll jede reelle Zahl zweimal als Funktionswert angenommen werden.

15.01.2017, 17:18

Prothanus

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Zitat:

Original von 10001000Nick1
Dann verrate mir mal, an welchen beiden Stellen $\begin{eqnarray*} f(x)=-x^2+2 \end{eqnarray*}$ den Funktionswert 10 hat. verwirrt

Schließlich soll jede reelle Zahl zweimal als Funktionswert angenommen werden.

Aso jede reelle Zahl geschockt

... Mmh jede reelle Zahl wird schon schwieriger dafür ne Funktion zu finden.. ich überlege mal weiter... Falsch verstanden sry.

15.01.2017, 17:33

10001000Nick1

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Da hast du mich falsch verstanden: Du sollst gar keine stetige Funktion finden, die jede relle Zahl genau zweimal als Funktionswert besitzt. Die Aufgabe ist ja gerade, zu zeigen, dass eine solche Funktion gar nicht existiert.

Wir nehmen also an, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} (a,b) \end{eqnarray*}$ positiv ist. Angenommen, sie wäre auch auf $\begin{eqnarray*} (-\infty, a) \end{eqnarray*}$ positiv. Dann könnte $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ etwa so aussehen:

[attach]43635[/attach]

Wie du siehst, gibt es dann einen Funktionswert (nämlich den rot markierten), der an drei Stellen angenommen wird.

Genau das sollst du jetzt beweisen.

15.01.2017, 17:52

Prothanus

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Aso, das meinst du. Und das kann man mit dem Zwischenwertsatz beweisen ?
Also könnte ich jetzt beispielsweise 3 Intervalle nehmen. Für jeden das kompakte Intervall
$\begin{eqnarray*} f (A) = [min f(A), max (f (A) ] \end{eqnarray*}$ aufstellen und dann zeigen, dass ein Wert in jeden Intervall enthalten ist ?

15.01.2017, 17:55

10001000Nick1

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Was soll denn $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ sein?

Zeig doch einfach mal, was du machen willst. Dann lässt sich auch besser beurteilen, ob der Weg zum Ziel führt.

15.01.2017, 18:18

Prothanus

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Zitat:

Original von 10001000Nick1
Was soll denn $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ sein?

Zeig doch einfach mal, was du machen willst. Dann lässt sich auch besser beurteilen, ob der Weg zum Ziel führt.

Ah ich wollte es ähnlich wie in der Skizze machen. Also die drei Intervalle aufstellen bsp : $\begin{eqnarray*} <br /> \left[ \infty , a \right] \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \left[ a , b \right ] \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \left[b, - \infty \right ] \end{eqnarray*}$ und dann per Zwischenwertsatz für jedes Intervall ein Maximum und ein Minimum aufstellen. Dann könnte ich ja zeigen, dass es eine Zahl gibt die in jedem Intervall enthalten ist. Aber mir ist eben auf gefallen, dass für den Zwischenwertsatz das Intervall ja kompakt sein muss. Also kann ich die Möglichkeit verwerfen.

Im Tutorium haben wir aus der vorhandenen Funktion f eine neue Funktion $\begin{eqnarray*} h (x) = f (x_{ 0 } ) - x_{ 0 } = 0 \end{eqnarray*}$ konstruiert, um damit dann zu zeigen, dass diese Funktion Nullstellen hat. Könnte ich das hier ähnlich machen ?

15.01.2017, 18:50

10001000Nick1

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Zitat:

Original von Prothanus
Könnte ich das hier ähnlich machen ?

Da du hier etwas völlig anderes zeigen willst: Nein.

Außerdem müssen Maxima/Minima stetiger Funktionen nur auf kompakten Intervallen existieren.

Machen wir es so: Sei $\begin{eqnarray*} M:= \max_{x\in[a,b]} f(x) \end{eqnarray*}$ (also das Maximum von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf dem (kompakten) Intervall $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ ). Dann ist $\begin{eqnarray*} M>0 \end{eqnarray*}$ und jeder Wert $\begin{eqnarray*} m\in (0,M) \end{eqnarray*}$ wird in $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ genau zweimal als Funktionswert angenommen (warum?).

Mach dir auch nochmal in meiner Skizze klar.

Wenn du jetzt also zeigen kannst, dass irgendein $\begin{eqnarray*} m\in (0,M) \end{eqnarray*}$ "links" von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ als Funktionswert angenommen wird, dann hast du einen Widerspruch (denn dann gäbe es ja drei Stellen mit diesem $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ als Funktionswert).

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