Wieviele Unstetigkeitsstellen mindestens?

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Clearly_wrong Auf diesen Beitrag antworten »
Wieviele Unstetigkeitsstellen mindestens?
Inspiriert durch eine Frage hier, habe ich mir eine kleine Knoblei ausgedacht:

Sei der Art, dass jeden reellen Wert genau zweimal annimmt.

Frage: Wieviele Unstetigkeitsstellen muss mindestens haben?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Mit abzählbar vielen geht es. Ich schätze mal, mit weniger nicht? Augenzwinkern

Passendes Beispiel:
Clearly_wrong Auf diesen Beitrag antworten »

Die Antwort ist schonmal richtig smile
Clearly_wrong Auf diesen Beitrag antworten »

Ich löse mal auf:

Angenommen, es gäbe so eine Funktion mit endlich vielen Unstetigkeitsstellen. Dann ist stückweise stetig und kann aufgrund des Zwischenwertsatzes in jedem Stetigkeitsintervall höchstens zweimal das Monotonieverhalten wechseln.1 Sei die endliche Menge aller Punkte, in denen entweder unstetig ist oder das Monotonieverhalten wechselt. Setze . Beachte, dass genau doppelt so viele Elemente, wie enthält.

Dann ist die Einschränkung eine wohldefinierte Funktion, die zudem auf jeder Zusammenhangskomponente streng monoton und stetig ist. besteht aus Zusammenhangskomponenten, die aufgrund der Stetigkeit von jeweils in eine einzige Zusammenhangskomponente von abgebildet werden. hat Zusammenhangskomponenten. Daher muss es aufgrund des Schubfachprinzips mindestens eine Zusammenhangskomponente von geben, die höchstens von einer einzigen Zusammenhangskomponente von unter getroffen wird. Da auf jeder Zusammenhangskomponente streng monoton ist, wird daher jeder Wert in höchstens einmal von getroffen.
Wenn wir noch die endlich vielen Werte in hinzunehmen, rettet das die Sache auch nicht, denn in jeder Zusammenhangskomponente von liegen unendlich viele Punkte.



1Man mag anfänglich denken, dass das sogar nur einmal je Stetigkeitsintervall möglich ist. Das ist aber falsch, wie etwa der Sinus auf zeigt.
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