Basis des Kerns einer Linearen Abbildung

15.01.2017, 19:30	dubbox	Auf diesen Beitrag antworten »
Basis des Kerns einer Linearen Abbildung Meine Frage: Hallo ich stehe grade etwas auf dem Schlauch bei der Berechnung der Basis des Kerns einer Linearen Abbildung. Ich weiß grade einfach nicht mehr wie ich nach dem Gauß die Vektoren für den Kern berrechne. Die Abbildung $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ ist durch die Abbildungsmatrix $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 3 \\ -1 & -1 & 2 & -1 \\ 3 & 3 & 0 & 4 \\ -3 & 1 & 4 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ gegeben. Hier soll ich die Basis des Kerns bestimmen. Meine Ideen: Ich wende also den Gauß an. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 3 \\ -1 & -1 & 2 & -1 \\ 3 & 3 & 0 & 4 \\ -3 & 1 & 4 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ 4te - 3te $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 3 \\ -1 & -1 & 2 & -1 \\ 3 & 3 & 0 & 4 \\ -6 & -2 & 4 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ 3te + 42te $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 3 \\ -1 & -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 8 & 0 \\ -6 & -2 & 4 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ 24te - 3te $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 3 \\ -1 & -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 8 & 0 \\ -11 & -3 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ 32te + 1te $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 3 \\ -2 & -1 & 5 & 0 \\ -1 & -1 & 8 & 0 \\ -11 & -3 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ 53te - 82te $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 3 \\ -2 & -1 & 5 & 0 \\ 11 & 3 & 0 & 0 \\ -11 & -3 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ 4te+3te $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 3 \\ -2 & -1 & 5 & 0 \\ 11 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ 51te+2te $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3 & 9 & 0 & 3 \\ -2 & -1 & 5 & 0 \\ 11 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ 1te-33te & 32ten+3te $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -30 & 0 & 0 & 3 \\ 5 & 0 & 15 & 0 \\ 11 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ich hoffe mal das ich da keinen blöden Rechenfehler drin habe, aber dennoch wäre die Frage die selbe, wie komme ich nun auf die Basis des Kerns?? Die muss aus 3 linear unabhängigen Vektoren bestehen so wie ich das jetzt verstehe da die 4te Zeile eine Nullzeile ist und der Rang der Matrix = 3. Aber die Basis des Kerns wird ja wohl nicht aus den ´Zeilenvektoren $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -30 \\ 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 5\\ 0 \\ 15 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 11\\ 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ bestehen oder?
15.01.2017, 21:26	balance	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hoffe das hilft - ich bin selbst noch Student. Als erstes betrachten wir die Definition des Kernes: $\begin{eqnarray} Kern(A)=\{v\in V \| Av=0\} \end{eqnarray}$ . Also ist es die Menge aller Vektoren, welche auf null abgebildet werden. Wir lösen also im Prinzip die Gleichung $\begin{eqnarray} Av=0 \end{eqnarray}$ . Wir Zeilen-Gaussen also solange, bis die Matrix in Zeilenstufenform ist. Ich mach das eigentlich immer "umgekehrt" wie du, ist aber egal. Mir half es folgendermassen vorzugehen: Schau das in der 1. Zeile eine Zeiel steht, die mit 1 beginnt. Dann machst du die erste Spalte für die restlichen Zeile 0. Dann so weiter. Also: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}1&2&-1&3\\-1&-1&2&-1\\3&3&0&4\\-3&1&4&4\end{pmatrix}\xrightarrow[IV+3I]{II+I, III-3I}\begin{pmatrix}1&2&-1&3\\0&1&1&2\\0&-3&3&-5\\0&7&1&13\end{pmatrix}\xrightarrow[IV-7II]{III+3II}\begin{pmatrix}1&2&-1&3\\0&1&1&2\\0&0&61\\0&0&-6&-1\end{pmatrix}\xrightarrow{I-2II, IV+III}\begin{pmatrix}1&0&-3&-1\\0&1&1&2\\0&0&6&1\\0&0&0&0\end{pmatrix}\xrightarrow{I+III}\begin{pmatrix}1&0&3&0\\0&1&1&2\\0&0&6&1\\0&0&0&0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Du kannst die Basisvektoren jetzt indirekt ablesen. Am Anfang hiflt es, die letzte Matrix als Gleichungssystem aufzuschreiben. Wir sehen hier: Rang(A)=3 und somit hat das Bild, nicht der Kern, eine 3 dimensionale Basis. Weiter sehen wir, dass der Kern eine eindimensionale Basis hat. Überlege dir, wieso $\begin{eqnarray} rang(A)=dim(Bild(A)) \end{eqnarray}$ . Am einfachsten ist es jetzt die Matrix A als Gleichungssystem aufzuschreiben: $\begin{eqnarray} \begin{matrix}x_1 & & +3x_3 & \quad = 0\\ & x_2 & + x_3 & + 2x_4 = 0\\ & & 6x_3&+ x_4 = 0\end{matrix} \end{eqnarray}$ Da wir eine Nullzeile haben, haben wir eine freie Variable. Also (das ist nur ein Hilfsmittel): $\begin{eqnarray} setzte x_3=t \end{eqnarray}$ Damit folgt $\begin{eqnarray} x_1=-3x_3=-3t \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_2=-x_3-2x_4=-t-2x_4=-t-2(-6t)=11t \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_3 = t \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_4=-6t \end{eqnarray}$ Unser Basisvektor ist somit $\begin{eqnarray} \{t\in \mathbb R \| t\begin{pmatrix}-3\\11\\1\\-6\end{pmatrix}\} \end{eqnarray}$ für irgend ein t erhälst du ihn. Setzte ein und teste, mit dem t am besten. Mach dir klar, wieso wir gaussen und wieso der Rang der Dimension des Bildes entspricht. Die Anzahl Nullzeilen sind die dimension des kernes (Kern-Bild-Satz). Rezept: 1) Bilde Abbildungsmatrix A (falls nicht schon gegebene) 2) (Zeilen)-Gausse A soweit wie möglich 3) Löse $\begin{eqnarray} Ax=0 \end{eqnarray}$ (Mach dir die Schritte klar, sonst nützt dir das alles nichts.)
29.01.2017, 15:30	tictactoe95	Auf diesen Beitrag antworten »
Basis des Kerns und Basis des Bildes Schreibt man die Basis des Kerns und die Basis des Bildes mit beispielsweise Basis im(A)=span<(v1,v2,v3)> oder ohne "span", sondern einfach nur die Vektoren? Vielen Dank!

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