Dimensionsungleichung über Bilder linearer Abbildungen

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maxHi Auf diesen Beitrag antworten »
Dimensionsungleichung über Bilder linearer Abbildungen
Meine Frage:
Erstmal hallo,

ich suche bereits relativ lange nach der Lösung zu folgendem Problem:

Gegeben sind

Beweisen Sie unter Verwendung der Dimensionsformel und der Folgerung aus den Teilmengenbeziehungen der Kerne () folgenden Satz:



Meine Ideen:
Bislang kam ich soweit, dass ich die Dimensionsformel angewendet habe. Jetzt stehe ich aber gerade auf dem Schlauch:
Meine bisherigen Schritte:

Jetzt kann ich ja dim(V_3) und dim(V_4) wegstreichen:

Jetzt noch mit -1 multiplizieren und das Ungleichungszeichen umdrehen, dann folgt:

Aus dem 2. Tipp (der stammt aus der Übungsteilaufgabe davor) hab ich gefolgert:

und


Die Frage: Wie mache ich hiermit jetzt weiter?
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RE: Dimensionsungleichung über Bilder linearer Abbildungen
Wie kommst du denn auf deine erste Ungleichung?
Es ist doch z.B.
maxHi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dimensionsungleichung über Bilder linearer Abbildungen
Ach ja stimmt, das war wohl mein Fehler.

Dennoch ergäbe sich doch dann:

abzüglich und auf beiden Seiten:


Oder hab ich irgendwo einen Fehler?
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RE: Dimensionsungleichung über Bilder linearer Abbildungen
Kein Fehler.
maxHi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dimensionsungleichung über Bilder linearer Abbildungen
Aber jetzt kann ich ja wieder mit -1 durchmultiplizieren und komme auf die Ungleichung

maxHi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dimensionsungleichung über Bilder linearer Abbildungen
Nun ja,
ich bin im Internet zwar auf den Beweis dieser Rangungleichung nach Frobenius gefunden (und zwar hier: math.stackexchange.com/questions/497830/frobenius-inequality-rank), habe aber ein paar Fragen dazu. Wäre nett, wenn ihr mir dabei irgendwie helfen könnt:

Der Satz von Frobenius geht hier von drei Matrizen aus, die zueinander verträglich bzgl. der Matrix-Matrix-Multiplikation sind:
Sei , und l, so gelte:


Der Beweis dafür verwendet eine Identität ( steht für den Kern):
(1)

(Der Beweis der hier referenziert wird, ist irgendwie für mich nicht so ganz verständlich, warum wird das über eine Abbildung bewiesen, geht das auch anders?)
Und dann wird gefolgert, dass
(2)

, weil ja schon gilt.
Hier die ganz große Frage: Warum? Dazu finde ich irgendwie keinen wirklichen Beweis, wäre nett wenn hier jemand das große Fragezeichen bei mir mit einer Antwort ersetzen könnte.
Der Rest des Beweises ist durch aus einleuchtend, denn lässt sich ja analog zu (1) schreiben als:
(3)
Danach fasst man zusammen (1)-(3):

Das daraus dann die Ungleichung folgt, ist klar. Das die Dimension des Bilds einer Linearen Abbildung gleich dem Rang der zugehörigen Abbildungsmatrix ist, ist mir auch klar. Bei mir scheitert es an dem Beweis von (1) und (2).
 
 
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RE: Dimensionsungleichung über Bilder linearer Abbildungen
(2) ist schnell gezeigt: heißt ja, es gibt ein x mit und offenbar ist , also ist .
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