Bestimmen einer Abbildung

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Sito Auf diesen Beitrag antworten »
Bestimmen einer Abbildung
Guten Tag zusammen.

Ich soll ein Abbildung von angeben mit wobei gegeben ist durch:


Gelten muss für mit Matrix , dass gerade als Lösungsraum . Leider weiss ich nicht wie man nun vorgehen muss um die Matrix zu bestimmen...
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist irgendeine Abbildung mit dem vorgegebenen Kern anzugeben?
Ich gehe davon aus, dass zumindest noch Linearität gefordert wird. Berechne dann zunächst die Schnittmenge durch Einsetzen in die Bedingung x+y+z=0.
Sito Auf diesen Beitrag antworten »

Mein Fehler, bitte entschuldige. Es ist tatsächlich noch Linearität gefordert.

Zitat:
Berechne dann zunächst die Schnittmenge durch Einsetzen in die Bedingung x+y+z=0.

Ich verstehe leider nicht ganz was du genau meinst mit dieser Aussage. Ich habe einfach mal eine Basis der Schnittmenge berechnet, falls du das meinen solltest.

. Mit ergibt das
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig und die Schnittmenge umfasst alle Vielfachen dieses Basisvektors.
Um nun eine Matrix zu finden, deren kern diese Menge enthält muss Ax=0 gelten. Was bedeutet das für die Zeilen von A?
Sito Auf diesen Beitrag antworten »

Es tut mir Leid, aber ich sehe den Zusammenhang zwischen den Zeilen von A und dieser Menge nicht wirklich. Wenn ich nun A mit einem Vielfachen dieser Basis multipliziere so muss dies 0 ergeben...
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Dann versuche ich es einmal anders: Wie multiplizierst Du eine Matrix mit einem (Spalten)Vektor?
Wie kommen da die Zeilen der Matrix ins Spiel?
 
 
Sito Auf diesen Beitrag antworten »

Nun ich multipliziere jede Zeile mit dem Vektor und addiere die Zwischenergebnisse, was mir dann die einzelnen Komponenten des Lösungsvektors ergibt. Angenommen ich habe also die Matrix:

balance Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde mich der Frage gerne anschliessen. Ich hätte es wie folgt gemacht:

Gesucht sei die Abbildung A, welche den Kern hat.

Es gilt

also: wobei die Spalten von sind. Wir kriegen also 9 Gleichungen und können daraus bestimmen.

Das scheint mir aber irgendwie ein wenig mühsam, aber ich kann an keine andere Methoden denken. Der Grund, das ich an nichts anderes denken kann ist: Ich weis auch keine andere Methode die Basis des Kernes einer gegebenen Abbildung zu finden, auser zu llösen.

Daher: Klapt das oben so? Gibts einen besseren Weg?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Könntest Du so machen, ist aber in der Tat nicht sehr effektiv.
Mein obiger Hinweis auf die Zeilen zielt auf den Begriff der Orthogonalität. Aufgrund der Dimension des kerns liegt auch die Anzahl der linear unabhängigen Zeilen von A fest, so dass es ein leichtes ist, eine mögliche Matrix anzugeben.
balance Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab einen besseren Weg gefunden: Wir wissen, der Kern hat Dimension 1. Damit hat das Bild Dimension 2. Also hat unsere gesuchte Matrix sicher eine Nullzeile. Wir haben also folgendes:



Es muss nun gelten

Wir sehen bzw. wissen, dass also können wir eine Zeile sicher mal wie folgt wählen: . Nun fehlt noch eine. Die muss linear unabhängig sein. Wir wählen also zufällig irgend eine Komponente 1 und eine 0 und die 3 ergiebt sich dann. z.B.:



Meintest du das? Kannst du mir bitte aber tortzdem noch detailliert sagen, was du mit der Orthogonalität meintest?

Danke
Sito Auf diesen Beitrag antworten »

Zuerst mal vielen Dank an balance für den letzten Beitrag. Diese Methode erscheint mir bis jetzt am einfachsten. Da ich leider noch nichts über Orthogonalität in der Vorlesung gehört habe ist die von Helferlein vorgeschlagene Variante wohl nicht wirklich etwas für mich.

Kurz noch eine Verständnisfrage:

Wenn ich z.B. ein Gleichungssystem durch Gauss-Elimination auf folgende Matrix reduziere , kann ich ja daraus die Lösungsmenge ablesen. Kann ich nun quasi die Umkehrung davon machen um auf die Matrix zu schliessen?

In meiner Aufgabe aus dem Erstpost ist ja die Lösungsmenge mit . Den Basisvektor kann man doch nun wie folgt umformen: . Sein nun . Die zwei Lösungsmengen sind äquivalent zueinander, also lässt sich doch daraus folgende Erweiterte-Matrix direkt ableiten: und daraus folgt dann doch direkt

Funktioniert das so?

Gruss Sito
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Das was balance gemacht hat ist genau die Ausnutzung der Orthogonalität, nur dass er den Begriff nicht verwendet hat Augenzwinkern
Die Formulierungen mit der Nullzeile ist jedoch inhaltlich falsch. Es gibt zig Matrizen, die keine Nullzeile haben und trotzdem den angegebenen kern.
Als Beispiel sei hier nur genannt.

Zum Rechenweg von Dir, Sito: Die Lösungsmengen sind nicht äquivalent, sie sind identisch. Was stellst Du Dir unter der Äquivalenz zweier Mengen vor? Ansonsten ist das genau derselbe Weg, nur dass Du einen Vektor der Lösungsmenge wählst, der Dir (persönlich) das Ablesen erleichtert.
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