Strenge Monotonie

16.01.2017, 14:44

Mathe<3

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Strenge Monotonie

Hallo alle zusammen ich habe die folgende Aufgabe:

und meine Idee ist es bei der 2a)

1.Ich zeige das wenn eine Funktion Streng Monoton Steigend ist das diese Funktion Injektiv ist. (Also zeige ich 2 seiten einmal --> und <---)

2. Danach zeige ich das die Komposition einer Injektiven Funktion wieder Injektiv ist.

ist die Idee gut ? oder mache ich es mir zu kompliziert ?

16.01.2017, 17:00

Leopold

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Du sollst mehr zeigen, nämlich daß $\begin{align*} f \circ f \end{align*}$ auf jeden Fall streng monoton wachsend ist, wenn nur $\begin{align*} f \end{align*}$ selbst streng monoton (wachsend oder fallend) ist. Daß eine streng monotone Funktion injektiv ist, kann man als Trivialität ansehen. Mit der Injektivität schwächst du die Behauptung ab.

Betrachte die Ungleichung zwischen den Funktionswerten von $\begin{align*} x_1 \end{align*}$ und $\begin{align*} x_2 \end{align*}$ , wenn $\begin{align*} x_1 < x_2 \end{align*}$ ist. Was weiß man darüber nach Voraussetzung? Laß $\begin{align*} f \end{align*}$ auf diese Ungleichung los. Was folgt jetzt?

16.01.2017, 17:08

Mathe<3

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Wenn x1 <x2 ist dann wissen wir nach Voraussetzung das f(x1)< f(x2) gilt also Streng Monoton Wachsend

16.01.2017, 17:21

Leopold

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Nein, das wissen wir nicht. Wir wissen doch nur, daß $\begin{align*} f \end{align*}$ streng monoton ist. Fallunterscheidung!

16.01.2017, 17:44

Mathe<3

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Du hast ja gesagt lass f auf diese Ungleichung los ich habe verstanden das ich die ungleichung in f einsetze also jeweils für x1 und x2.

Warum denn jetzt fallunterscheidung verwirrt

verwirrt

hmm...

Wir wollen ja zeigen das wenn f Streng Monoton Wachsend ist das dann auch f°f streng Monoton wachsend ist.

wenn wir uns nun x1 <x2 anschauen so gilt auch f(x1) < f(x2) da f streng Monotonwachsend ist.

Jetzt muss ich ja zeigen das f°f(X) Streng Monoton ist.

f°f(x) = f(f(x)).....

ist das nicht der richtige Weg ?

17.01.2017, 15:27

Leopold

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Du mußt in der Voraussetzung zwei Fälle unterscheiden:

Fall 1: $\begin{align*} f \end{align*}$ ist streng monoton wachsend

Fall 2: $\begin{align*} f \end{align*}$ ist streng monoton fallend

Zunächst also Fall 1. Was heißt es denn, daß $\begin{align*} f \end{align*}$ streng monoton wachsend ist? Doch daß aus $\begin{align*} x_1 < x_2 \end{align*}$ immer $\begin{align*} \underbrace{f(x_1)}_{y_1} < \underbrace{f(x_2)}_{y_2} \end{align*}$ folgt. Jetzt willst du nachweisen, daß $\begin{align*} f \circ f \end{align*}$ streng monoton wächst. Da bietet es sich doch an, $\begin{align*} f \end{align*}$ auf die letzte Ungleichung loszulassen.

Vielleicht allgemein noch Folgendes.

Eine streng monoton wachsende Funktion erhält eine Ungleichung: Aus $\begin{align*} x_1 < x_2 \end{align*}$ folgt $\begin{align*} f(x_1) < f(x_2) \end{align*}$ . Das meine ich, wenn ich sage: $\begin{align*} f \end{align*}$ auf eine Ungleichung loslassen.
Eine streng monoton fallende Funktion dagegen kehrt eine Ungleichung um: Aus $\begin{align*} x_1 < x_2 \end{align*}$ folgt $\begin{align*} f(x_1) > f(x_2) \end{align*}$ .

Ist eine Funktion $\begin{align*} f \end{align*}$ nicht monoton, dann kann man aus $\begin{align*} x_1 < x_2 \end{align*}$ keinen Schluß über die Lage von $\begin{align*} f(x_1) \end{align*}$ und $\begin{align*} f(x_2) \end{align*}$ ziehen.

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17.01.2017, 18:44

Mathe<3

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Ja das ist mir klar aber trotzdem danke nochmal für die ausführliche erklärung !

Also wenn ich f auf die letzte ungleichung "loslasse"

kommt ja wieder f(x1) < f(x2) und wenn ich nun die Komposition von f mit sich selbst in die ungleichung "loslasse" kommt ja

f(f(x1)) < f(f(x2)) und da wir wissen das f Streng Monoton wächst also f(x1)< f(x2) gilt wobei f(x1)=y1 und f(x2)= y2

muss ja f(y1) < f(y2) gelten da ja y1 < y2 ist und die Funktion f streng Monoton steigt.

Stimmt das ? verwirrt

verwirrt

18.01.2017, 06:14

Leopold

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Zitat:

Original von Mathe<3
Also wenn ich f auf die letzte ungleichung "loslasse"

Auf welche?

Ehrlich gesagt verstehe ich deine ganze Argumentation nicht. Ich dachte, ich hätte mit meinem letzten Beitrag die Sache geklärt, insbesondere über die suggestive Bezeichnung durch $\begin{align*} y_1 < y_2 \end{align*}$ einen Hinweis gegeben. Aber es scheint nichts genützt zu haben. Du bläst eine simple Angelegenheit zu einer Riesensache auf. Ich kann dir leider nicht weiter helfen. Der nächste Schritt wäre es, die Musterlösung zu präsentieren.

Ich vermute, daß du etwas Grundsätzliches nicht verstanden hast, möglicherweise die Definition der Monotonie oder der Verkettung. Vielleicht wäre es sinnvoll, erst hierzu Fragen zu stellen.

18.01.2017, 08:21

Mathe<3

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Also ich dachte eigentlich das ich es jetzt verstanden habe verwirrt

verwirrt

Eigentlich hatte ich noch nie mit Monotonie Probleme.

Also nochmal alles zusammengefasst würde ich gerne den Beweis sauber aufschreiben.

Ich soll zeigen wenn f Streng Monoton ist so ist die Komposition von f mit sich selbst stets Streng Monoton wachsend.

1.Fall f ist Streng Monoton wachsend

da f Streng Monoton wachsend ist gilt wenn x<y folgt f(x) <f(y) mit f(x)= y1 und f(y)= y2.

Die Komposition von f : f(f(x)) < f(f(y)) also f(y1) < f(y2) und da y1<y2 ist und nach Vorr. f Streng Monoton wachsend ist heißt das nichts anderes das die Komposition von f mit sich selbst Streng Monoton wachsend ist.

2.Fall ist f Streng Monoton fallend

da f streng Monoton fallend ist gilt wenn x<y folgt f(x) > f(y) mit f(x)=y1 und f(y)=y2

Die komposition von f : f(f(x)) > f(f(y)) also f(y1) > f(y2) und da y1 >y2 muss die Komposition Streng Monoton wachsend sein.

18.01.2017, 10:47

Leopold

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Das Problem ist, daß man in deiner Beweisführung nicht erkennen kann:

* Wo zitierst du bloß eine Definition?
* Was ist vorausgesetzt?
* Was wird behauptet?
* Wie beginnst du den Beweis?
* Wie folgen die Dinge auseinander?
* Wo geht die Voraussetzung im Beweis ein?

Es ist einfach nur verwirrend, wenn im Beweisgang auf einmal die Behauptung wie aus dem Nichts erscheint und man nicht erkennen kann, ob du daraus jetzt Folgerungen ziehst (was ein kardinaler Fehler wäre) oder ob du die Behauptung nur als Ziel, auf das hinzuarbeiten ist, zitierst, um dann den Weg zur Behauptung anzugeben. Du mußt einfach mehr Worte um deine mathematischen Zeichen herum machen - und vor allem die richtigen! Ob es eine Begründung ist ("da", "weil", "denn" usw.) oder eine Folgerung ("so daß", "dann" usw.), ist doch entscheidend, und wenn da die richtige Konjunktion fehlt oder gar die falsche steht, dann versteht man den Beweis halt nicht. Die kleinen Wörtchen an den entscheidenden Stellen, die sind es!

Ich mache dir das einmal vor. Kommentare schreibe ich kursiv. Sie gehören nicht zum Beweis.

Um uns in Erinnerung zu rufen, worum es geht, zitiere ich die Definition.

Eine Funktion $\begin{align*} f \end{align*}$ heißt streng monoton wachsend, wenn aus $\begin{align*} x_1 < x_2 \end{align*}$ folgt: $\begin{align*} f(x_1) < f(x_2) \end{align*}$ .

Daß es sich um eine Definition handelt, erkennt man an "heißt". Einige wichtige Voraussetzungen schwingen implizit mit. Monotonie macht nur Sinn, wenn die Funktion auf einem Intervall definiert ist. Das ist aber laut Aufgabe der Fall, denn $\begin{align*} f \end{align*}$ ist für alle $\begin{align*} x \in \mathbb{R} \end{align*}$ definiert. Auch für das spätere Verketten ist es wichtig, daß die Werte von $\begin{align*} f \end{align*}$ im Definitionsbereich von $\begin{align*} f \end{align*}$ liegen. Das ist natürlich hier der Fall.

Zunächst sei $\begin{align*} f \end{align*}$ streng monoton wachsend.

An "sei" erkennt man, daß es sich um eine Voraussetzung handelt.

Seien $\begin{align*} x_1,x_2 \end{align*}$ reelle Zahlen mit $\begin{align*} x_1 < x_2 \end{align*}$ .

Hier beginnt die Beweisführung. Von jetzt ab liegen $\begin{align*} x_1,x_2 \end{align*}$ fest und dürfen während des Beweisgangs nicht mehr geändert werden.

Da $\begin{align*} f \end{align*}$ streng monoton wächst, folgt:

$\begin{align*} \underbrace{f(x_1)}_{y_1} < \underbrace{f(x_2)}_{y_2} \end{align*}$

"Da" zeigt eine Begründung für die Folgerung ("folgt") an. Man beruft sich hier auf die strenge Monotonie, wie sie in der Definition erklärt wurde. Mit $\begin{align*} y_1,y_2 \end{align*}$ werden zwei neue Bezeichner eingeführt. Für den Beweis ist das überflüssig. Es dient hier nur der Suggestion. Man sieht eine Ungleichung: $\begin{align*} y_1 < y_2 \end{align*}$ , auf die man jetzt $\begin{align*} f \end{align*}$ losschicken kann. Als streng monoton wachsende Funktion erhält ja $\begin{align*} f \end{align*}$ diese Ungleichung, was wir auch sogleich festhalten:

Da $\begin{align*} f \end{align*}$ streng monoton wächst, folgt erneut:

$\begin{align*} f(y_1) < f(y_2) \ \ \Leftrightarrow \ \ \ldots \end{align*}$

Diese Ungleichung wird jetzt gemäß der Festlegung von $\begin{align*} y_1,y_2 \end{align*}$ und der Definition der Verkettung interpretiert:

$\begin{align*} \ldots \ \ \Leftrightarrow \ \ f \left( f(x_1) \right) < f \left( f(x_2) \right) \ \ \Leftrightarrow \ \ (f \circ f)(x_1) < (f \circ f)(x_2) \end{align*}$

Wir begannen mit einem Paar $\begin{align*} x_1 < x_2 \end{align*}$ und haben gefolgert: $\begin{align*} (f \circ f)(x_1) < (f \circ f)(x_2) \end{align*}$ . Zwar haben wir das nur für dieses konkrete Paar $\begin{align*} x_1,x_2 \end{align*}$ gezeigt. Da wir aber über dieses Paar nichts weiter verwendet haben, hätte es jedes denkbare Paar sein können. Wir erkennen, daß die Folgerung für alle Paare $\begin{align*} x_1 < x_2 \end{align*}$ gezogen werden kann. Wir sind daher am Ziel, was wir kurz festhalten:

Und das war zu zeigen. $\begin{align*} f \circ f \end{align*}$ ist damit streng monoton wachsend.

Jetzt führe analog den Beweis, falls $\begin{align*} f \end{align*}$ streng monoton fallend ist. Alles kursiv Geschriebene kannst du weglassen. Was du bisher zum Fall "streng monoton fallend" geschrieben hast, ist unbrauchbar, ja richtiggehend falsch. Kleines Wortspiel zum Schluß ... Augenzwinkern

Augenzwinkern

18.01.2017, 11:32

Mathe<3

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Ich verstehe was du meinst nagut dann bin ich mal dran Freude

Freude

Zur Erinnerung: Eine Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ heißt streng Monoton fallend wenn aus

$\begin{eqnarray*} x_{1} < x_{2} \end{eqnarray*}$ folgt: $\begin{eqnarray*} f(x_{1}) > f( x_{2} ) \end{eqnarray*}$

zu zeigen ist : Wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ Streng Monoton auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist dann ist $\begin{eqnarray*} f{\displaystyle \circ }f \end{eqnarray*}$ Streng Monoton Wachsend.

Beweis : Sei $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ Streng Monoton fallend. Ferner seien $\begin{eqnarray*} x_{1},x_{2} \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_{1} < x_{2} \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ Streng Monoton fällt folgt:

$\begin{eqnarray*} f(x_{1}) > f( x_{2} ) \end{eqnarray*}$

Nun Sei $\begin{eqnarray*} f(x_{1}) = y1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x_{2}) = y2 \end{eqnarray*}$ .

Aus $\begin{eqnarray*} (f{\displaystyle \circ }f)(x_{1}) >(f{\displaystyle \circ }f)(x_{2}) \end{eqnarray*}$ (äquivalent) $\begin{eqnarray*} f(f(x_{1})) >f(f(x_{2}) \end{eqnarray*}$ folgt : $\begin{eqnarray*} f(y1) >f(y2) \end{eqnarray*}$

sodass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ streng Monoton wachsen muss.

q.e.d

vllt nicht so gut wie du aber war das besser ? Tanzen

Tanzen

18.01.2017, 21:57

Leopold

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Zitat:

Original von Mathe<3
Aus $\begin{eqnarray*} (f{\displaystyle \circ }f)(x_{1}) >(f{\displaystyle \circ }f)(x_{2}) \end{eqnarray*}$ (äquivalent) $\begin{eqnarray*} f(f(x_{1})) >f(f(x_{2}) \end{eqnarray*}$ folgt : $\begin{eqnarray*} f(y1) >f(y2) \end{eqnarray*}$

Das ist falsch.
Wo die erste Ungleichung hier plötzlich herkommt, versteht kein Mensch. Sie übrigens ganz falsch und widerspricht sogar der Behauptung, wonach $\begin{align*} f \circ f \end{align*}$ streng monoton wachsend ist.

18.01.2017, 22:17

Mathe<3

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Ok Kein Problem Augenzwinkern

Augenzwinkern

Da $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ Streng Monoton fallend ist folgt erneut

$\begin{eqnarray*} f(y_{1}) > f(y_{2}) \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} f(f(x_{1})) > f(f(x_{2})) \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} ( f {\displaystyle \circ } f)(x_{1}) > (f {\displaystyle \circ } f)(x_{2}) \end{eqnarray*}$

Überall wo ein "=" steht sollte eigentlich ein äquivalenz zeichen kommen nur wusste ich nicht wie diese geht. Ich muss ja auf "<" kommen am ende irgendwie kriege ich es nicht hin

19.01.2017, 06:24

Leopold

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Die logische Abfolge stimmt jetzt, die Rechnung jedoch nicht. Du hast "gezeigt", daß $\begin{align*} f \circ f \end{align*}$ streng monoton fallend ist. Das widerspricht einerseits der Aufgabe und ist andererseits auch falsch. Suche deinen Fehler.

Den Äquivalenzpfeil machst du mit \Leftrightarrow.

19.01.2017, 08:53

Mathe<3

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Ich habe schon gestern die ganze Zeit nach meinem fehler gesucht ich finde es nicht... verwirrt

verwirrt

19.01.2017, 20:16

Mathe<3

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Kann mir jemand bitte helfen ? ich glaube der Leopold hat keine Zeit...

19.01.2017, 22:52

Clearly_wrong

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Du hattest $\begin{align*} y_1 > y_2 \end{align*}$ geschlossen. Wie genau willst du daraus jetzt $\begin{align*} f(y_1) > f(y_2) \end{align*}$ schließen?

19.01.2017, 23:01

Mathe<3

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So Endlich habe ich meinen fehler Augenzwinkern

Augenzwinkern

Der Beweis nochmal :

zu zeigen : Wenn f Streng Monoton fallend ist so ist $\begin{eqnarray*} f{\displaystyle \circ } f \end{eqnarray*}$ Streng Monoton Wachsend.

Beweis :

Sei $\begin{eqnarray*} x_{1},x_{2} \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_{1}<x_{2} \end{eqnarray*}$ so folgt:

$\begin{eqnarray*} f(x_{1})>f(x_{2}) \end{eqnarray*}$ da f Streng Monoton wächst.

Nun setzen wir $\begin{eqnarray*} f(x_{1})=y_{1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x_{2})=y_{2} \end{eqnarray*}$

So folgt wieder wegen der Streng Monotonie $\begin{eqnarray*} y_{2} <y_{1} \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} f(y_{2})> f(y_{1}) \end{eqnarray*}$ und dies ist nichts anderes als $\begin{eqnarray*} f(f(x_{2} ))> f(f(x_{1}) ) \end{eqnarray*}$ bzw $\begin{eqnarray*} ( f {\displaystyle \circ } f)(x_{2} ) > (f{\displaystyle \circ } f)(x_{1} ) \end{eqnarray*}$ also Streng Monoton Wachsend !

19.01.2017, 23:03

Mathe<3

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} f(x_{1})>f(x_{2}) \end{eqnarray*}$ da f Streng Monoton wächst

hier an dieser stelle muss es Streng Monoton fällt heißen

19.01.2017, 23:14

Clearly_wrong

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Jo!

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